Тема: Объемы тел (Задачи повышенной трудности)
Условие задачи полностью выглядит так:
| 814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и H симметричны относительно точки G.
|
Решение задачи:
лемма 1. (геометрия 7—9, стр. 141, геометрия 10— 11, стр. 94.). все медианы в треугольнике a1a2a3 пересекаются в одной точке м, называемой центроидом треугольника, где для любой точки о
(1)
и m делит каждую медиану в соотношении 2:1.
если с1 - середина a2a3„ то (геометрия 7—9, стр. 199)
точка m, определяемая равенством (1), лежит на медиане а1с1 и делит её в соотношении 2 : 1. действительно:
откуда
и
для остальных
медиан доказательство аналогично.
лемма 2. все прямые, соединяющие вершины тетраэдра a1a2a3a4 с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке g (называемой центроидом тетраэдра), где
если м4 - центроид грани a1a2a3, то
следовательно,
откуда
причем
для остальных прямых доказательство аналогично.
по условию все высоты тетраэдра a1a2a3a4 пересекаются в точке h. пусть g - центроид тетраэдра; докажем, что точка с, для кото-
рой
является центром описанной около тетраэдра сферы, то есть, что
или
согласно лемме 2:
(2)
аналогично
(3)
так как
то
аналогично равны друг другу все произведения вида
где
после раскрытия скобок в (2) и (3) все удвоенные произведения окажутся равными между собой, так что
аналогичны верны и остальные равенства (1). так как
то точки h, с и g лежат на одной прямой.
|
Задача из главы Объемы тел по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
