Тема: Цилиндр; конус и шар (Конус §2)
Условие задачи полностью выглядит так:
| 556. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром O1 радиуса r1, где О1 — точка пересечения плоскости α с осью РО, а r1=PO1/PO ⋅r (см. рис. 145).
|
Решение задачи:
решение. докажем сначала, что любая точка m1, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r1 с центром o1, лежит на некоторой образующей конуса, т.е. является точкой рассматриваемого сечения. обозначим буквой м точку пересечения луча рм1 с плоскостью основания конуса. из подобия прямоугольных треугольников ро1м1 и ром (они подобны, так как имеют общий острый угол р) находим: ом = po/po1 ⋅ o1m1 = po/po1 r1=r, т.е. точка м лежит на окружности основания конуса. следовательно, отрезок рм, на котором лежит точка m1, является образующей конуса.
докажем теперь, что любая точка m1, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r1 с центром o1. действительно, из подобия треугольников ро1м1 и ром (рм — образующая, проходящая через точку м1) имеем
таким образом, окружность радиуса г1 с центром о1 является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.альтернативное решение
дано: α ⊥ оси конуса ро.
докажем, что
1) сечение конуса плоскостью α будет кругом с центром в точке о1;
2)
возьмем некоторую точку м1 ∈ α и точку м1 ∈ o1(r1). (на плоскости
α строим окружность с центром в точке о1 и радиуса r и на этой окружности выбираем произвольную точку м1).
через точку р и точку м1 проводим прямую рм1, которая пересечет плоскость основания конуса в точке м. δро1м1~δром как прямоугольные, имеющие одинаковый острый угол.
при задан
ной точке р и окружности o1(r1).
тогда: точка м — произвольная, значит, все точки луча рм1, пересекающие плоскость основания конуса, лежат на окружности о(r), т.е. равноуда
лены от некоторой точки о на расстояние r, что видно из формулы. рм — образующая конуса по определению.
4) образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем, что существует произвольная точка м1 ∈ α, m1 ∈ pm такая, что
m1 ∈ o1(r1).
5)
(рм — образующая).
при заданной точке р и г.
тогда: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого является o1 (r1), будет сечением конуса плоскостью α.
|
Задача из главы Цилиндр; конус и шар по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
