Тема: Метод координат в пространстве (Движения §3)
Условие задачи полностью выглядит так:
| 483. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если: а) β||α, то β1||α; б) β⊥α, то β1 совпадает с β.
|
Решение задачи:
а) выберем три точки в плоскости а, в, с, не лежащие на одной прямой. проведем аа2⊥α, вв2 ⊥α, сс2 ⊥α. продолжим эти отрезки за точки а1, b1, c1 так, что а2а1=аа2, b2b1=bb2, c2c1=cc2. aa1b1b — прямо
угольник, т.к. аа1=вв1 и аа1|| вв1. таким образом, a1в1||ав. вв1с1с — прямоугольник, т.к. bb1=cc1 и bb1|| bс. тогда, в1с1 || вс.
плоскость β1 проходит через точки а1, в1 и c1, она
— единственная.
если две пересекающиеся прямые (ва и вс) одной плоскости (β) параллельны двум прямым (b1a1 и в1с1) другой плоскости (β1), то эти плоскости параллельны: β1 || β.
б) пусть α⊥β. возьмем произвольную точку а ∈ β и построим ао перпендикулярно плоскости α. продолжим отрезок за точку о на расстояние оа1=ао.
две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, тогда этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, т.е.
ао⊂β, следовательно, и аа1 ⊂β.
таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая тоже принадлежит плоскости β. тогда, плоскость β отображается сама на себя, или β1 совпадает с β.
|
Задача из главы Метод координат в пространстве по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
