Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей (Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей §3)
Условие задачи полностью выглядит так:
| 186. Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.
|
Решение задачи:
* в задачах этого параграфа двугранный угол с ребром ав, на разных гранях которого отмечены точки с и d, для краткости будем называть так: двугранный угол cabd.
решение. рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и параллельную прямой b. через прямые а и b проведем плоскости β и γ так, чтобы β⊥α и γ⊥α (задача 185). докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости β и &gamma, является искомой.
докажем, что р — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. предположим, что существуют две прямые а1в1 и а2в2, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 65). прямые а1в1 и а2в2 перпендикулярны к плоскости α (объясните почему), поэтому они параллельны. отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.
альтернативное решение:
по условию даны скрещивающиеся прямые а и b. построим прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную к ним.
проведем через прямую а. α || b. из произвольных точек а ∈ b, b ∈ b проведем аа1 ⊥ α и вв1 ⊥ α. соединим а1 и в1 отрезком и найдем точку с1 пересечения прямых а1в1 и а. через т. с1 проведем прямую, перпендикулярную α. эта прямая:
1) пересекается с прямой b в некоторой точке с
(плоскости а1авв1 и α взаимно перпендикулярны; через
т.с1 ∈ пл. а1авв1 проведена прямая, перпендикулярная α. эта прямая будет лежать в пл. а1авв1 (это доказано в задаче 179).
эта прямая
с1с пересечет b);
2)
(раз
то
по теореме ii
раз
прямая с1с - искомая.
отрезок с1с меньше всех других отрезков, которые можно получить, соединяя точки прямой а с точками прямой b. например, возьмем т. е ∈ а, т. f ∈ b, проведем отрезок ef и докажем, что ef > c1c.
проведем
тогда
но
следовательно,
вывод: с1с - единственная, т.к. все остальные отрезки длиннее сс1, поэтому не могут являться общим перпендикуляром к а и b (т.к. это кратчайшее расстояние).
что и требовалось доказать.
|
Задача из главы Перпендикулярность прямых и плоскостей по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
