Давай пять!
davay5.com
Геометрия
Физика
Химия
Главная страница
11 класс
10 класс
9 класс
8 класс
7 класс
Задачи по теме
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число §2
из учебника Атанасян (глава
Векторы в пространстве
)
327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + A
1
D
1
; б) AB + AD
1
; в) DA + B
1
B; г) DD
1
+DB; д) DB
1
+ ВС.
328. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD=AC + CD; б) AB + BC = DC + AD; в) DC + BD = AC + BA.
329. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору B
1
A; в) равны вектору — DC; г) равны вектору — А
1
В
1
.
330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
и обозначьте векторы C
1
D
1
, BA
1
, AD соответственно через a,b,c. Изобразите на рисунке векторы: а) а — b; б) а —с; в) b — а; г) с —b; д) с — а.
331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ — ОА = ОС — OD; б) OB — OC = DA.
332. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
333. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) (АВ + СА + DC) + (BC + CD); б) (АВ-АС) + DC.
334. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
. Докажите, что: а) |MK + MM
1
| = |MK - MM
1
|; б) |K
1
L
1
- NL
1
| = |ML +MM
1
|; в) |NL - M
1
L| = |K
1
N - LN|.
335. Упростите выражение: a) AB+MN+BC+CA+PQ+NM; б) FK+MQ+KP+AM+QK+PF; в) KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP; г) AB+BA+CD+MN+DC+NM.
336. Даны точки A, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, DC, СВ; в) DA, CD, ВС.
337. Упростите выражение: a) OP - EP + KD - KA; б) AD + MP + EK - EP - MD; в) AC - BC - PM - AP + BM.
338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1, где О—произвольная точка пространства.
339. Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a) DC + D
1
A
1
+ CD
1
+ x + A
1
C
1
= DB; б) DA + x + D
1
B + AD
1
+ BA = DC.
340. Дана треугольная призма АВСА
1
В
1
С
1
. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) АА
1
- В
1
С - х = ВА; б) AC
1
- ВВ
1
+х=АВ; в) AB
1
+ x = AC - x + BC
1
.
341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что PA + PB + PC + PD = 4 PO.
342. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.
343. Известно, что AO = ½AB. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.
344. Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: a) AB = k⋅CD; б) AC1=k⋅AO; в) OB1=k⋅B1D.
345. Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор ОА — ОС через вектор EF; б) вектор ОА — ОЕ через вектор DC.
346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ —ON через векторы АР и ВС.
346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ —ON через векторы АР и ВС.
348. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC1+B1D=2BC.
349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ⋅MB, где λ≠— 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство.
350. Известно, что p = a + b + c, причем векторы a, b и c попарно не сонаправлены. Докажите, что |p| < |а| + |b| + |с|.
351. Векторы a и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) a + b и с; б) a - b и c; в) a + 3b и с; г) -a + 2b и с.
352. Векторы a + b и a - b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.
353. Векторы a + 2b и a - 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.
354. Докажите, что если векторы a + b и a - b не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a + 2b и 2a - b не коллинеарны.
Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
davay5.com