Задачи на тему Теорема пифагора § 7
из задачника Погорелов 8 класс по предмету Геометрия

1. № 1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) 3/5; 2) 4/9; 3) 0,5; 4) 0,8.
2. № 2. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и в. Найдите гипотенузу, если: 1) а = 3, b = 4; 2) a = 1, b = 1; 3) a = 5, b = 6.
3. № 3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: 1) с = 5, а = 3; 2) с = 13, а = 5; 3)с = 6, а = 5.
4. № 4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3м и 4м. Найдите третью сторону.
5. № 5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7?
6. № 6. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
7. № 7. Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ?
8. № 8. Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?
9. № 9. Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1м?
10. № 10. Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.
11. № 11. Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b, проведенную к основанию.
12. № 12. Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км?
13. № 13. В равностороннем треугольнике со стороной a найдите высоту.
14. № 14. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок:
15. № 15*. Даны отрезки a и b. Как построить отрезок x = √ab ?
16. № 16. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
17. № 17. Докажите, что если треугольник имеет стороны а, b, с и a2 + b2 = с2, то у него угол, противолежащий стороне с, прямой.
18. № 18. Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, противолежащий стороне 13?
19. № 19. На стороне АВ треугольника АВС взята точка X. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС.
20. № 20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
21. № 21. Даны прямая и точка С на расстоянии h от этой прямой. Докажите, что из точки С можно провести две и только две наклонные длины l, если l > h.
22. № 22*. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. Пусть дана окружность с центром О и радиусом R и прямая а, отстоящая от центра на расстояние h < R.
23. № 23. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
24. № 24. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если: 1) АВ = 5 м, ВС = 7 м. АС = 12 м; АВ = 10,7, ВС = 17.1, АС = 6,4.
25. № 25. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Пусть стороны треугольника а, b, с. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника).
26. № 26. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?
27. № 27. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров.
28. № 28*. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
29. № 29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
30. № 30. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В. С и D не меньше, чем ОА + ОВ + ОС + OD.
31. № 31*. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе; 2) населенные п
32. № 32. Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3?
33. № 33. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
34. № 34. Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
35. № 35. Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
36. № 36. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ.
37. № 37. Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ.
38. № 38*. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.
39. № 39. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d?
40. № 40*. Даны три положительных числа а, b, с, удовлетворяющие условиям а ≤ b ≤ с < а + b. Докажите последовательно утверждения:
41. № 41. Даны три положительных числа а, b, с. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами а. b, с.
42. № 42. Можно ли построить треугольник со сторонами: 1) a = 1 см, b = 2 см, с = 3 см; 2) a = 2 см, b = 3 см, с = 4 см; 3) a = 3 см, b = 7 см, с = 11 см; 4) a = 4 см, b = 5 см, с = 9 см?
43. № 43*. Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел R1, R2 и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках.
44. № 44. У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
45. № 45. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, а один из острых углов а. Найдите второй острый угол и катеты.
46. № 46. В прямоугольном треугольнике катет равен а, а противолежащий ему угол а. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
47. № 47. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
48. № 48. 1) Найдите sin22°; sin22°36'; sin22°38'; sin 22°41'; cos 68°; cos68°18'; cos68°23'. 2) Найдите угол х, если sinx = 0,2850; sinx = 0,2844; cosx = 0,2710.
49. № 49. Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24°36'; 3) 70°32'; 4) 88°49'.
50. № 50. Найдите величину острого угла х, если: 1) sinx = 0,0175; 2) sinx = 0,5015;3) cosx = 0,6814; 4) cosx = 0,0670.
51. № 51. Найдите значение тангенса угла: 1) 10°; 2) 40°40'; 3) 50°30'; 4) 70°15'.
52. № 52. Найдите острый угол х, если: 1) tgx = 0,3227; 2) tgx = 0,7846; 3) tgx = 6.152; 4) tgx = 9,254.
53. № 53. Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону.
54. № 54. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19: 28. Найдите его углы.
55. № 55. Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями.
56. № 56. Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
57. № 57. Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
58. № 58. Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
59. № 59. Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.
60. № 60. Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно а. Найдите боковую сторону.
61. № 61. Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1) по двум катетам: а) а = 3, b = 4; б) a = 9, b = 40; в) a = 20, b = 21; г) a = 11, b = 60; 2) по гипотенузе и катету: а) с = 13, a =-5; б) с = 25, a = 7; в)
62. № 62. Упростите выражения: 1) 1 - sin2a; 2) (1 - cosa)(l + cosa); 3) 1 + sin2a + cos2a; ...
63. № 63. Вычислите значения sina и tga, если:
64. № 64. Найдите cosa и tga, если:
65. № 65. Постройте угол а, если известно, что:
66. № 66. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и углом 60° найдите катет, противолежащий этому углу.
67. № 67. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него.
68. № 68. В треугольнике один из углов при основании равен 45°, а высота делит основание на части 20 см в 21 см. Найдите большую боковую сторону1.
69. № 69. У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника.
70. № 70. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
71. № 71. Диагонали ромба равны a и а . Найдите углы ромба.
72. № 72. Какой из углов больше — а или b, если:
73. № 73. У прямоугольного треугольника АВС угол А больше угла В. Какой из катетов больше — АС или ВС?
74. № 74. У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше — А или В?

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
davay5.com