Тема: Окружность (Дополнительные задачи)
Условие задачи полностью выглядит так:
724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Решение задачи:


решение
пусть в выпуклом четырехугольнике abcd
ав + cd =вс +ad. (1)
точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.

724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно

предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' — точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' — описанный четырехугольник, то по свойству его сторон

724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно

но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:

724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно

правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству

724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно

т.е. в четырехугольнике c’cdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.

Задача из главы Окружность по предмету Геометрия из задачника Геометрия. 7-9 класс, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина (8 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн