Тема: Объемы тел (Задачи повышенной трудности) Условие задачи полностью выглядит так:
815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).
|
Решение задачи:
сохраним обозначения из №814. докажем, что точка q, для которой
— центр сферы эйлера. если точка b1 делит отрезок ah в соотношении 2:1, то
а если m1 — центроид грани a2a3a4, то согласно №366
по лемме 2 из №814
отсюда
аналогично находим остальные векторы
в №814 доказано, что все произведения
где i,j = 1,2, 3, 4, i≠j, равны между собой. поэтому после раскрытия скобок получим
следовательно, все точки мi и bi лежат на сфере с центром q. так как
то м1 и в1 — концы диаметра этой сферы; так как в1 и h лежат на высоте a1h1, а h1 и м1 — на перпендикулярной ей грани а2а3а4 то в1н1м1 и h1 лежит на сфере. аналогично на сфере лежат и точки h2, h3, h4.
|
Задача из главы Объемы тел по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|