Тема: Объемы тел (Задачи повышенной трудности)
Условие задачи полностью выглядит так:
815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).
Решение задачи:


сохраним обозначения из №814. докажем, что точка q, для которой

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

— центр сферы
эйлера.
если точка b1 делит отрезок ah в соотношении 2:1, то

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

а если m1 — центроид грани a2a3a4, то согласно №366

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

по лемме 2 из №814

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

отсюда

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

аналогично находим остальные векторы

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

в №814 доказано, что все произведения

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

где i,j = 1,2,
3, 4, i≠j, равны между собой. поэтому после раскрытия скобок получим

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

следовательно, все точки мi и bi лежат на сфере с центром q.
так как

815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан

то м1 и в1 — концы диаметра этой сферы; так как в1 и h лежат на высоте a1h1, а h1 и м1 — на перпендикулярной ей грани а2а3а4 то в1н1м1 и h1 лежит на сфере. аналогично на сфере лежат и точки h2, h3, h4.

Задача из главы Объемы тел по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн