Тема: Объемы тел (Задачи повышенной трудности)
Условие задачи полностью выглядит так:
784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера).
Решение задачи:


пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность р1. отделив от p1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность р2. продолжая этот процесс, получим через s шагов

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

поверхность ps с числом
граней fs, ребер ks и вершин es.
докажем индукцией по числу граней, равному

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

что

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

(1)
при

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

откуда

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

пусть (1) верно для

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

, докажем (1) для

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

разрежем

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

по ломаной, соединяющей две вершины, лежащие
на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. получим поверхности

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

соответственно с

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

гранями,

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

ребрами,

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

вершинами. так как

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

то

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

(2)

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

(3)
пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. если сосчитать число ребер или вершин на

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

и результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

кроме
того,

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

тогда, складывая (2) и (3), получим

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

то есть

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

и (1)
доказано для

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

тем самым (1) верно для любого fs.
в частности, при

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

(то есть при s=1) имеем

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

так как

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на

то

784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на


Задача из главы Объемы тел по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн