Тема: Метод координат в пространстве (Дополнительные задачи к главе 5)
Условие задачи полностью выглядит так:
508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?
Решение задачи:


по определению проекции прямая dd1 перпендикулярна плоскости aвс, т.е. она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны

а)

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны

d1d — направляющий вектор прямой d1d;
d1b — направляющий вектор прямой d1b. следовательно,

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны

б) dd1 также направляющий вектор прямой d1d, dd1 ⊥ (авс), т.е. dd1
⊥ вс. bc — направляющий вектор прямой вс. тогда, dd1bc . т.к. d1d=-dd1, то угол φ1 между dd1 и плоскостью aвс равен: φ1=180°-φ, где φ=90° — угол между d1d и плоскостью aвс;
в) da и bc — направляющие векторы прямых da и вс.
если

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны

то

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны

т.к. тетраэдр abcd — правильный, то его вершина d проектируется в центр δавс. если провести в δавс высоту am, то высота тетраэдра dd1 пересечется с высотой δавс в точке d1, тогда
1) св ⊥ am, т.к. am — высота δавс;
2) св ⊥ dd1, dd1 ⊥ (авс);
3) am и dd1 ∈ (dd1a), прямые am и dd1 пересекаются.
из 1), 2) и 3) следует, что св перпендикулярна плоскости dd1c, значит, cb ⊥ da, bc ⊥ da.
г) dc и d1b не перпендикулярны, т.к. прямые dc и d1b не перпендикулярны. если бы сd ⊥ d1b, то по теореме, обратной к т. о трех перпендикулярах, cd1 ⊥ d1b. но это прямые, содержащие медианы правильного треугольника. они не перпендикулярны.

Задача из главы Метод координат в пространстве по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн