Тема: Метод координат в пространстве (Движения §3)
Условие задачи полностью выглядит так:
| 480. Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
|
Решение задачи:
а) пусть о — центр симметрии, α — данная плоскость.
1. пусть точку с ∈ а, построим отрезок со и продолжим его за точку о на расстояние ос1 = ос.
2. пусть точка а ∈ а, построим отрезок ао и продолжим его за точку о на расстояние ос1=оа.
3. пусть точка в ∈ а, построим отрезок во и продолжим его за точку о на расстояние ов1=ов.
4. через точки а1, в1, c1 проведем плоскость β.
5. соединим точки а, в, с, а1, в1 и c1 отрезками. δoас=δo1a1c1, т.к. оа1=оа,
ос1=ос и ∠аoc=∠a1oc1 как вертикальные.
отсюда ас =а1с1.
тогда ∠а1с1o=∠aco, по признаку параллельности прямых а1с||ас.
6. для δoав и δoа1в1 проведем аналогичные рассуждения и получим, что δoав=δoа1в1. тогда ∠а1в1o=∠авo, по признаку параллельности прямых а1в1||ав.
7. если две пересекающиеся прямые (ас и ав) в одной плоскости (а) соответственно
параллельны двум прямым (a1c1 и a1b1) другой плоскости (β), то эти плоскости параллельны. итак, α||β, утверждение доказано.
б) если точка о ∈ α, то любая точка плоскости β имеет симметричную ей точку относительно о, тоже принадлежащую плоскости α.
тогда для а ∈ α ей симметричная точка а1 ∈ α; для в ∈ α ей симметричная точка b1 ∈ α; для с ∈ α ей симметричная точка c1 ∈ α.
через три точки а1, b1, с1 принадлежащие плоскости β, можно провести единственную плоскость, соответственно, она совпадает с плоскостью α.
|
Задача из главы Метод координат в пространстве по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
