Тема: Параллельность прямых и плоскостей (Дополнительные задачи к главе 1)
Условие задачи полностью выглядит так:
108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение задачи:



108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

отложим от т. d на ребрах da, db, dc равные отрезки: da' = db' = =dc' = a. соединим точки a', b' и c' отрезками. нарисуем ограниченную этими отрезками часть тетраэдра, для удобства «положив» его на одну из боковых граней.

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

проведем биссектрисы двух углов при вершине d: de и df; проведем отрезки c'e и a'f.
в δa'db' da' = db' и de является медианой, следовательно, ea' = be (т.к. a a'db' равнобедренный).

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

поэтому

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

следовательно,

108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно

в δa'b'c' отрезки c'e и a'f являются медианами.
чтобы на загромождать рисунок, не показана биссектриса ∠a'dc'. если для нее повторить рассуждения, то убедимся, что отрезок, исходящий из b' в точку, где биссектриса пересечет сторону a'c', будет третьей медианой в δab'c'. а три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
таким образом, плоскости dec', dfa' и третья, не показанная на рисунке, пересекаются на рисунке по прямой do.
уберем ограничение, что da' = db' = dc'. факт, что плоскости пересекаются по прямой do, останется верным.
равные отрезки от вершины d можно отложить в любом тетраэдре, поэтому на строгость (или общность) доказательства это повлиять не может.
раз указанные плоскости пересекаются по прямой dо, то эта прямая пересечется с плоскостью основания в некоторой точке, значит, все три отрезка аа1, сс1 и вв1 проходят через нее.
что и требовалось доказать.

Задача из главы Параллельность прямых и плоскостей по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Атанасян (10 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн