Тема: Геометрические построения § 5
Условие задачи полностью выглядит так:
| № 47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
|
Решение задачи:
пусть даны два отрезка а и d и угол α.
нужно построить δавс, в котором вс = а, ∠в = α, а |ac -ab| = d.
задача имеет решения лишь при d < a, т.к. из неравенства треугольника следует, что любая сторона должна быть больше разности двух сторон.
i. допустим такой треугольник уже построен. рассмотрим два случая:
1) ∠α — острый.
если ав > ас, d = ас, то отложим на стороне ав отрезок bd = d, тогда ad = ab - d = ac, т.е. точка а лежит на серединном перпендикуляре к cd.
если ас > ав, то отложим на продолжении стороны ав отрезок bd = d.
d = ac - ab, ad = ab + bd = ab + d, т.е. ad = ac, поэтому точка а будет лежать на серединном перпендикуляре к cd.
2) ∠α — тупой.
ас > ав, тогда на продолжении сторона ав отложим bd = d, тогда ad = ac и тогда точка а лежит на серединном перпендикуляре к cd.
а) если α — острый угол, d = ас - ав.
построим ∠b = α.
отложим на одной стороне угла вс = а, а на дополнительной полупрямой к другой стороне bd = d.
найдем точку а, проведя серединный перпендикуляр к стороне cd. т.к. ав = ad - db = ac - d, то d = ac - ab, и δавс — искомый.
б) если a — острый угол, d = ab - ac.
построим ∠b = a.
отложим на одной стороне угла вс = а, а на другой — bd
= d.
найдем точку а, проведя серединный перпендикуляр к отрезку cd. т.к. ва = d + ac, то d = ab - ac, таким образом, δавс — искомый.
ii.
если α' — тупой угол, то d = ас - ав (аналогично п. i, а)
выясним, всегда ли задача имеет решение.
i.
а) в δdbc ∠dbc — тупой (т.к. α и ∠dbc смежные) и db < bc, то серединный перпендикуляр обязан пересечь сторону вс < в и сторону ва, таким образом, решение обязано существовать.
б) если ∠bdc ≤ 90°, то ∠cda ≥ 90°. тогда решений нет, иначе есть единственное решение.
ii.
в δbdc ∠cbd — острый (т.к. α и ∠cbd смежные), а > d, таким образом, если ∠bdc прямой или тупой, то серединный пер
пендикуляр к dc не пересекает сторону ва угла сва и, значит, решений нет. если ∠dbc — острый, задача имеет единственное решение.
|
Задача из главы Геометрические построения § 5 по предмету Геометрия из задачника Геометрия. 7-11 класс, Погорелов (7 класс)
Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач
и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)
|
|
