Тема: Многогранники § 20
Условие задачи полностью выглядит так:
84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
Решение задачи:



84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра

в октаэдре через пару противоположных вершин s1 и s2 проходят четыре плоскости симметрии (две из них проходят через ребра a1s1, и a2s1 а также b1s1 и b2s1.
еще две плоскости проходят через ось s1s2 перпендикулярно ребрам a1b1 и a2b1, а также ребрам в1а2 и а2в2.
далее, через пару противоположных вершин a1, a2 по тем же соображениям проходят четыре плоскости симметрии; но одна из них, проходящая через a1s1 и a2s1 уже была учтена.
так что есть еще три плоскости симметрии.
через пару противоположных вершин в1в2 проходят также четыре плоскости симметрии, но две из них уже были учтены. значит, получим всего 4+3+2=9 плоскостей симметрии.
правильный икосаэдр имеет 12 вершин.
через первую пару противоположных вершин проходят пять плоскостей симметрии (каждая их них проходит через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному углу).
далее, через вторую пару противоположных вершин также проходят 5 плоскостей, но одна из них подсчитана в первом случае, так что остаются новых четыре плоскости симметрии.
для третьей пары получим — 3 новых плоскости, а для четвертой — две плоскости и для пятой пары только одна новая плоскость.
через шестую пару вершин не пройдет ни одной новой плоскости симметрии.
значит, всего 5+4+3+2+1=15 плоскостей симметрии. правильный додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников. так что плоскости симметрии проходят через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному ребру. поэтому через первую пару противоположных пятиугольников проходит 5 плоскостей, через вторую пару — 4, через третью — 3, четвертую — 2, пятую — 1. так что всего плоскостей симметрии 5+4+3+2+1=15.

Задача из главы Многогранники § 20 по предмету Геометрия из задачника Геометрия 10-11 класс, Погорелов (11 класс)

Если к данной задачи нет решения - не переживайте. Наши администраторы стараются дополнять сайт решениями для тех задач и упражнения где это требуется и которые не даны в решебниках и сборниках с ГДЗ. Попробуйте зайти позже. Вероятно, вы найдете то, что искали :)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн