Задачи по теме Параллельность прямых; прямой и плоскости § 1
из учебника Атанасян (глава Параллельность прямых и плоскостей)

16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.
17. На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см.
18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ1=7 см; б) АС:СВ = 3:2 и ВВ1 = 20 см.
19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обоснуйте.
21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
22. Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.
23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.
24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.
25. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
26. Сторона АС треугольника ABC параллельна плоскости* α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.
27. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE
28. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DE = 5 см и BD/DA=2/3. Плоскость α проходит через точки B и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.
29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН.
30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.
31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны АС.
32. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.
33. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн