Задачи по теме К главе 7. Подобные треугольники
из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина (глава Задачи повышенной трудности)

847 На рисунке 269 изображен правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что:
848 В треугольнике ABC (AB≠AC) через середину М стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.
849 Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
850 Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причем так, что точка Е лежит на отрезке AF и AE=BF. Прямая, проведенная через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведенную через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведенной к стороне АВ.
851 Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.
852 В треугольнике ABC ∠A= 180°/7 и ∠B = 360°/7. Докажите, что
853 Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОВ. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОВ и ОА. Докажите, что RS⊥OM.
854 В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведен перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ⊥АН.
855 В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что:
856 В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке Р. а) Найдите все углы четырехугольника. б) Докажите, что AB2=BP⋅BD. Известно, что
857 Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, B, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
858 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырехугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
859 Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна половине его периметра, то этот четырехугольник — параллелограмм.
860 Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
861 Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний.
862 Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах B и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.
863 Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
864 Середины трех высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
865 В треугольнике ABC, сторона АС которого в два раза больше стороны BC, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К. Докажите,что
866 Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что
867 В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1:2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и ABC.
868 Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР.
869 Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в n раз дальше, чем от другой (n=2, 3, 4).
870 Точка С лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?
871 Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведенной к основанию.
872 Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
873 Постройте треугольник ABC, если даны ∠A, ∠C и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.
874 Постройте треугольник по трем высотам.
875 Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
876 Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн