Задачи по теме К главе 6. Площадь
из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина (глава Задачи повышенной трудности)

829 Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.
830 На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АХ и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и OBK равны соответственно S1, S2, S3.
831 На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и X, а на отрезке MK — точка Р так, что AM/MC=CK/KB=MP/PK. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АМР и ВКР равны S1 и S2.
832 Точки Р, Q, R и Т соответственно середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DР образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.
833 Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведенный из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
834 В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
835 Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трех треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
836 Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АKВ равны.
837 Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырехугольников ABOD и СЕОК равны.
838 Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырехугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырехугольника.
839 Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырехугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB с вершинами. Докажите, что площадь четырехугольника, заключенного между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.
840 Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.
841 Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2.
842 Через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведенная через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведенная через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.
843 Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если ∠BAC = α.
844 Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что МВ = а, МС = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА.
845 В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны.
846 Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенства SOAB= SOAC= SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2= 5OС2.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн