Давай пять!
davay5.com
Геометрия
Физика
Химия
Главная страница
11 класс
10 класс
9 класс
8 класс
7 класс
Задачи по теме
Дополнительные задачи к главе 4
из учебника Атанасян (глава
Векторы в пространстве
)
376. Лан параллелепипед MNРQМ1N1P1Q1. Докажите, что:
377. На рисунке 113 изображен правильный октаэдр. Докажите, что:
378. Докажите, что разность векторов а и b выражается формулой a - b = a + (-b)
379. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) АВ + BD + DC; б) AD + CB + DC; в) AB+CD+BC+DA.
380. Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите сумму векторов: а) АВ+В
1
С
1
+ DD
1
+ CD; б) B
1
C
1
+AB+ DD
1
+CB
1
+BC +A
1
A; в) BA + AC+CB + DC + DA.
381. Даны треугольники ABC, А
1
В
1
С
1
и две точки О и Р пространства. Известно, что OA+OP=OA
1
, OB+OP=OB
1
,OC+OP=OC
1
. Докажите, что стороны треугольника А
1
В
1
С
1
соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.
382. При каких значениях k в равенстве a = kb, где b ≠0, векторы а и b: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?
383. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a+kb и a+lb не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a+k1b и а+lb не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.
384. Точки А1, В1 и С1 — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
385. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
386. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство
387. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: a) NP = 2MN; б) МР-½PN; в) МР = k⋅MN, где k—данное число.
388. Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A
1
, A
2
, A
3
и B
1
, B
2
, B
3
, причем A
1
A
2
=
k⋅A
1
A
3
, В
1
В
2
= k
⋅В
1
В
3
. Докажите, что прямые А
1
В
1
, А
2
В
2
, A
3
B
3
параллельны некоторой плоскости.
390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, в котором AB = AD = a, AA
1
= 2а. В вершинах B
1
и D
1
помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке A
1
; б) в точке С; в) в центре грани A
1
B
1
C
1
D
1
; г) в центре грани ABCD.
391. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с=AD.
392. На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, г=АА1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
393. В параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
точка К—середина ребра СС
1
. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА
1
; б) DA
1
по векторам АВ
1
, ВС
1
, CD
1
.
394. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ, AD и АА1.
395. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны некоторой плоскости.
396. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.
397. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN||AC, и найдите отношение длин этих отрезков.
398. Треугольники ABC, A
1
B
1
C
1
и A
2
B
2
C
2
расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А
1
А
2
, В
1
В
2
, С
1
С
2
соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А
1
В
1
С
1
и A
2
B
2
C
2
лежат на одной прямой.
399. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
davay5.com