Задачи по теме Дополнительные задачи к главе 3
из учебника Атанасян (глава Многогранники)

288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.
290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол Θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
294. Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь полученного сечения равна So, а сторона основания равна а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1⊥BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD⊥АА1С1; г) плоскости АА1С1 и BB1D1 взаимно перпендикулярны.
296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь сечения, образованного плоскостью α.
297. Основанием треугольной призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А1 проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥АА1С1; б) АА1O⊥ВВ1С; в) грань ВВ1С1С — прямоугольник.
298. Основанием параллелепипеда с боковым ребром b является квадрат со стороной с. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.
301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.
304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.
309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ=АС = 25 см, BC = 40 см, АН = 8 см, где АН — высота пирамиды.
311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС= 13 см, АВ = 15 см, СВ= 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани ВDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.
312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
314. В правильной четырехуголькой усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.
315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн