Задачи по теме Дополнительные задачи
из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина (глава Окружность)

712 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
713 Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и угол MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
714* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
715 Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полуокружности, равны.
716 Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если ∪AB = ∪CD, то AB=CD.
717 Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
718 По данным рисунка 237 докажите, что
719 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.
720 Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
721 Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
722 Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что АВ : CD=2 : 3, AD : ВС=2 : 1. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S.
723 Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
727 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
728 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
729* Докажите, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
730 Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырехугольника АСВО можно описать окружность.
731 Докажите, что около выпуклого четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
732 В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.
733 Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
734 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
735 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
736 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
737 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
738 Отметьте точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
739 Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор AC, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
740 Начертите векторы АВ, CD, и EF так, чтобы:
741 Начертите два неколлинеарных вектора a и b . Изобразите несколько векторов: a) сонаправленных с вектором a ; б) сонаправленных с вектором b ; в) противоположно направленных вектору b ; г) противоположно направленных вектору a.
742 Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные; б) имеющие равные длины и сонап-равленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны?
743 Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, равные а.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн