Задачи на тему Многоугольники §13
из задачника Погорелов 9 класс по предмету Геометрия

1. № 1. Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстояние между центрами d > R1 + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей.
2. № 2. Решите задачу 1 при условии, что G < R1 - R2.
3. № 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
4. № 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
5. № 5. Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
6. № 6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
7. № 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
8. № 8. Сколько диагоналей у n-угольника?
10. № 10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
11. № 11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
12. № 12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°? 2) 150°?
13. № 13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
14. № 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2я-угольника являются вершинами правильного n-угольника. Пусть АВСDEF — правильный 2n-угольник.
15. № 15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника. Пусть АВСDЕ — правильный n-угольник, АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т.д.
17. № 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
18. № 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
19. № 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Дано: ΔАВС — правильный, вписанный в окружность
20. № 20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
21. № 21. Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат.
22. № 22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см? Требуется найти сторону вписанного в окружность
23. № 23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле
24. № 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
25. № 25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
26. № 26. Сторона правильного многоугольника равна а, арадиус описанной окружности 5. Найдите радиус вписанной окружности.
27. № 27. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.
28. № 28. Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
29. № 29. Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
30. № 30. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
31. № 31. 0пишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
32. № 32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны r1 и R1, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен r2;. Чему равен радиус описанной окружности другого n-угольника?
33. № 33. Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
34. № 34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м. Длина окружности вычисляется по формуле:
35. № 35. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
36. № 36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением r.
37. № 37. Решите задачу № 36 для правильного 12-угольника.
38. № 38. Найдите радиус земного шара исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
39. № 39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
40. № 40. Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
41. № 41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
42. № 42. Шкив имеет в диаметре 1,4 ми делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
43. № 43. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°;
44. № 44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) 1/23 2) 1/4;
45. № 45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км. R = 6370 км — радиус Земли. l = 1 км — расстояние между двумя точками на поверхности Земли, а — угол
46. № 46. По радиусу R = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45'; 5) 60°30'; 6) 150°36'.
47. № 47. По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
48. № 48. По данной длине дуги l найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3)120°. 1) а = 60°.
50. № 50. Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если ∠А = 60°; ∠В = 45°.
51. № 51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна:

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн