Задачи на тему Четырехугольники § 6 из задачника Погорелов 8 класс по предмету Геометрия 1. № 1. На рисунках 114-116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником? 2. № 2. Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины. 3. № 3. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их. 4. № 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. 5. № 5. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см в 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ. 6. № 6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. 7. № 7. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки ВЕ = 2м и AF = 2,8 м. Найдите стороны ВС и AD. 8. № 8. У параллелограмма ABCD АВ = 10 см, ВС = 15 см. Чему равны стороны AD и CD? Объясните ответ. 9. № 9. У параллелограмма ABCD ∠А = 30°. Чему равны углы В, С, D? Объясните ответ. 10. № 10. Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см. 11. № 11. Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы. 12. № 12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°. 13. № 13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°? 14. № 14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° в 35°. Найдите углы параллелограмма. 15. № 15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°. 16. № 16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 70°; 2) 110°; 3) 140°. 17. № 17. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны ВС, а F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм. 18. № 18. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. 19. № 19. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, AD = 15 см? 20. № 20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4. а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны. 21. № 21. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. 22. № 22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям. 23. № 23. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними. 24. № 24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником. 25. № 25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. 26. № 26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником. 27. № 27. Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты? 28. № 28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см. 29. № 29. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника. 30. № 30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины. 31. № 31. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника. 32. № 32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5: 2, а гипотенуза треугольника равн 33. № 33. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. 34. № 34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом. 35. № 35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. 36. № 36. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. 37. № 37. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба. 38. № 38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу. 39. № 39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям. 40. № 40. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат. 41. № 41. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата. 42. № 42. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки AA1=BB1=CC1=DD1. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 есть квадрат. 43. № 43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего. 44. № 44. Дан квадрат, сторона которого 1м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего. 45. № 45. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагон 46. № 46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3м. 47. № 47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания). 48. № 48. Разделите данный отрезок АВ на 3 равных части. 49. № 49. Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3)6. 50. № 50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 51. № 51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника. 52. № 52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см. 53. № 53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон? 54. №54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. 55. № 55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 56. № 56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м. 57. № 57. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. 58. № 58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 59. № 59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м. 60. № 60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. 61. № 61. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°? 62. № 62. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание. 63. № 63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции. 64. №64*. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции. 65. № 65. По одну сторону от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 66. № 66. По разные стороны от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 67. № 67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания. 68. № 68. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра. 69. № 69. Средняя линия трапеции 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции. 70. № 70. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины a и b (а > b). Найдите среднюю линию трапеции. 71. № 71*. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам. 72. № 72*. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям. 73. № 73*. Даны отрезки a, b, с, d, e. Постройте отрезок x=abc/de 74. № 74*. 1). В треугольнике АВС проведены медианы AA1 и BB1, которые пересекаются в точке М. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересе

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
davay5.com