Задачи на тему Геометрические построения § 5
из задачника Погорелов 7 класс по предмету Геометрия

1. № 1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
2. № 2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
3. № 3. Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей.
4. № 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи № 3.
5. № 5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
6. № 6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
7. № 7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.
8. № 8. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
9. № 9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А ?
10. № 10. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
11. № 11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания.
12. № 12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
13. № 13*. 1) Точки А , В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
14. № 14*. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
15. № 15*. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая
16. № 16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
17. № 17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.
18. № 18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 =(AB+AC-BC)/2.
19. № 19. Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с.
20. № 20. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.
21. № 21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
22. № 22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
23. № 23. Постройте треугольник АВС по следующим данным: 1)по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40°; б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70°. 2) по стороне и прилежащим к ней углам: а) АВ = 6 см, ∠А = 30°, ∠В
24. № 24. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70°; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
25. № 25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
26. № 26. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.
27. № 27. Разделите угол на четыре равные части.
28. № 28. Постройте углы 60° и 30°
29. № 29. Дан треугольник. Постройте его медианы.
30. № 30. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
31. № 31. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
32. № 32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
33. № 33. Дан треугольник. Постройте его высоты.
34. № 34. Постройте окружность, описанную около данного треугольника.
35. № 35. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
36. № 36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
37. № 37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
38. № 38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
39. № 39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.
40. № 40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
41. № 41. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h.
42. № 42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
43. № 43. Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
44. № 44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
45. № 45. Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.
46. № 46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
47. № 47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
48. № 48*. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.
49. № 49. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную
50. № 50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн