Задачи на тему Параллельность прямых и плоскостей § 16
из задачника Погорелов 10 класс по предмету Геометрия

1. 1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.
2. 2. Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и b? Объясните ответ.
3. 3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
4. 4. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
5. 5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1 В1 и M1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:1) АА1 = 5 м, ВВ1 = 7 м;2) АА1 = 3,6 дм, ВВ1
6. 6. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
7. 7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1 Найдите длину отрезка ВВ1 если:1) СС1 = 15см, АС : ВС = 2 : 3;2) СС1 = 8,1см, АВ : АС = 1
8. 8. Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1 и D1. Найдите длину отрезка DD1, если:1) АА1 = 2 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 8 м;2) АА1
9. 9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?
10. 10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
11. 11. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
12. 12. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.
13. 13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1.
14. 14. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
15. 15. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
16. 16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
17. 17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.
18. 18. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
19. 19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
20. 20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?
21. 21. Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым.
22. 22. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.
23. 23. Плоскости α и β параллельны плоскости γ Могут ли плоскости α и β пересекаться?
24. 24. Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.
25. 25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
26. 26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
27. 27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм.
28. 28. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1 тоже параллелограмм.
29. 29. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.
30. 30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.
31. 31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.
32. 32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?
33. 33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х1
34. 34. Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α.
35. 35. Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3. Пусть Х1, Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т.е. одинаково для любых двух прямых.
36. 36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
37. 37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
38. 38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
39. 39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
40. 40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
41. 41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
42. 42. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн