Задачи на тему Задачи повышенной трудности
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 9 класс по предмету Геометрия

Название темы: Задачи к главе 10
1256 Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3) и D (х4; y4). Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1+ х3= х2+ х4 и y1+ y3=y2+y4.
1257 Даны две точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении λ (т. е. AC/CB = λ), выражаются формулами
1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты ее вершин равны: (x1; y1), (х2; у2), (х3; у3).
1259 Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону и ВС в точке D. Найдите координаты точки D.
1260 В треугольнике ABC АС=9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
1261 Найдите координаты центра тяжести системы трех масс m1, m2 и m3, сосредоточенных соответственно в точках А1 (x1; y1), А22; у2), А33; у3).
1262 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма ее расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А(2; 3), В (4; -5); б) А (-2; 4), B (3; 1).
1263 Докажите, что: а) уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х2-ху- 2 = 0 не является уравнением окружности.
1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x— 1)2+(y— 2)2=4 и х22= 1, и вычислите длину их общей хорды.
1265 Даны три точки А, B, С и три числа а, р, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма αAM2 + βВМ2 + γСМ2 имеет постоянное значение, если:
1266 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки М1 прямой а на луче АМ1 взята точка М, такая, что АМ1• AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
1267 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки М1 окружности на луче ОМ1 взята точка М, такая, что ОМ = k • ОМ1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
1268 Пусть А и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию АМ=kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и B, так, что их радиусы, проведенные в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
Название темы: Задачи к главе 11
1269 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA =½MN, QB = ⅓MN (рис. 369). Докажите, что ∠АМВ = 45°.
1270 В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.
1271 Докажите, что площадь S произвольного четырехугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству
1272 Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса АА1 вычисляется по формуле
1273 Выразите диагонали вписанного в окружность четырехугольника через его стороны.
1274 Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле
1275 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
1276 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е - середина отрезка CD, угол СВЕ равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.
1277 В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.
1278 В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.
Название темы: Задачи к главе 12
1279 На рисунке 370 изображен правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла OAB. Докажите, что:
1280 Докажите, что отрезок АК, изображенный на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.
1281 Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A1A2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.
1282* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
1283 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
1284 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
1285 Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
1286 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
1287 Пусть ABCD — квадрат, а А1В1С1 - правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма AB+А1B1 равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.
1288 По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.
1289 На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причем AC=DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.
1290 Построить границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
Название темы: Задачи к главе 13
1291 При данном движении g точка А отображается в точку B, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.
1292 Даны два равных отрезка АВ и A1B1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и B отображаются соответственно в точки А1 и B1.
1293 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
1294 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
1295 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
1296 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
1297 Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей вершины, — на данной прямой.
1298 На стороне угла АОВ, с недоступной вершиной, дана точка М. Постройте отрезок, равный отрезку ОМ.
1299 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.
1300 Постройте треугольник по трем медианам.
1301 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.
1302 Даны точки А и B и две пересекающиеся прямые с и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых c и d.
1303 Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина B лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.
Название темы: Задачи к главе 14
1304 Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
1305 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.
1306 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от него вершин куба. Как должен двигаться паук?
1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
1308 Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму АВСА1В1С1 на четыре части. Найдите объемы этих частей, если объем призмы равен V.
1309 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.
1310 Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а и плоским углом а при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн