Задачи на тему Соотношения между сторонами и углами треугольника
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 9 класс по предмету Геометрия

Название темы: Синус; косинус и тангенс угла
1011 Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; ⅓ -⅓ 1⅔ -2,8? б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; у; -0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
1012 Проверьте, что точки М1(0; 1), M2(½;√3/2), M3(√2/2; √2/2), M4(-√3/2;½), А(1;0), В (-1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
1013 Найдите sin α, если: а) cos α =½; б) cos α =-⅔; в) cos α = -1.
1014 Найдите cos α, если: а) sin α =√3/2; б) sin α = ¼ в) sin α=0.
1015 Найдите tg α, если: a) cos α = 1; б) cos α = -√3/2 ; в) sin α=√2/2 и 0°<α<90°; г) sin α = 3/5 и 90°<α<180°.
1016 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.
1017 Постройте ∠А, если: a) sinA=⅔; б) cosA = ¾; в) cosA = -2/5.
1018 Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА=3, α=45°; б) ОА= 1,5, α=90°; в) ОА=5, α=150°; г) ОА=1, α=180°; д) ОА=2, α=30°.
1019 Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (- √3; 1); г) (-2√2 ; 2√2).
Название темы: Соотношения в треугольнике
1020 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = = 6√8 см, АС=4 см, ∠А=60°; б) ВС=3 см, АВ = = 18√2 см, ∠B=45°; в) АС=14 см, СВ=7 см, ∠C=48°.
1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
1022 Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сторону АВ, если АС= 15 см, ∠A=30°.
1023 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
1024 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A=α, а высоты, проведенные из вершин B и С, соответственно равны hb и hс; б) ∠А=α, ∠B=β, а высота, проведенная из вершины В, равна h.
1025 С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:
1026 В треугольнике ABC АС = 12 см, ∠A= 75°, ∠C=60°. Найдите АВ и SABC
1027 Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A=45°, ∠C=30°, а высота AD равна 3 м.
1028 В параллелограмме ABCD AD=7⅓м, BD=4,4 м, ∠A=22°30'. Найдите ∠BDC и ∠DBC.
1029 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
1030 Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
1031 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
1032 Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
1034 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
1035 В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13 см, СЕ = 9 см, ED=4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.
1036 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?
1037 Для определения ширины реки отметили два пункта А и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠CAB= 12°30', ∠ABC=72°42'. Найдите ширину реки.
1038 На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины B башни под углом 60° к горизонту, а потом с ее основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.
Название темы: Скалярное произведение векторов
1039 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС ; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
1040 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD.
1041 Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если | а |=2, | b |=3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
1042 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ• АС ; б) АС • СВ; в) АС• BD; г) АС • АС
1043 К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причем |Р|=8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
1044 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если: а) a(¼ -1}, b{2; 3}; б) а{-5; 6}, b{6; 5}, в) а {1,5; 2}, b{4; -0,5}.
1045 Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; x} перпендикулярны.
1046 Докажите, что векторы i +j и i-j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.
1047 При каком значении х векторы а и b перпендикулярны, если: а) а{4; 5}, b {х; -6}; б) а {x; -1}, b{3; 2}; в) а{0; -3}, b{5; x}?
1048 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), B(-1; 5), С(3; 1).
1049 Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )иС(½; √3 ).
1050 Вычислите | а + b | и | а - b |, если | а | = 5, | b | = 8, аb = 60°.
1051 Известно, что а с =b с = 60°, | а | = 1, | 6 | = | с | = 2. Вычислите ( а + b ) • с .
1052 Вычислите скалярное произведение векторов р = а - b - с и q = а - b + с , если |а| = 5, |б| = 2, | с | = 4 и а ⊥ b .
1053 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если а= 3р - 2q и b = р + 4 q , где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Название темы: Применение скалярного произведения векторов к решению задач
1054 Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
1056 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Название темы: Дополнительные задачи
1057 В равнобедренном треугольнике ABC АВ=АС=b, ∠А = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
1058 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°; б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠С = 120°.
1059 Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
1060 Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если:
1061 Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если:
1062 В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, EF=9,9 дм, DF=70 см. Найдите углы треугольника.
1063 Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠A = α, АВ = с, АС = b.
1064 Чтобы определить расстояние между точками А и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и B. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите AB, если АС = b, СВ = а, ∠АСВ = α.
1065 Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), B (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
1066 Найдите длину вектора a=3i -4j , где i и j — координатные векторы.
1067 Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b=p-3q , если |р| = 2√2 , | q | = 3 и p^q = 45°.
1068 При каком значении х векторы p=xa+17b и q = 3 а - b перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и a^b=120°?
1069 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
1070 В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и ВС=8 см боковая сторона равна 4√7 см, a ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключенного внутри трапеции.
1071 В треугольнике ABC, площадь которого равна 3√3 , угол А острый, АВ = 4√3 , АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
1072 Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = а. Найдите площадь данного ромба.
1073 Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин: А(-1; 2), В( 1; -2), С (2; 0), D(1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите ее площадь.
1074 Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что
1075 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = АС, с = АВ. Докажите, что:
1076 В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
1077 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн