Задачи на тему Векторы
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 8 класс по предмету Геометрия

Название темы: Понятие вектора
744 Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?
745 В прямоугольнике ABCD АВ = 3 см, ВС=4 см, М— середина стороны АВ. Найдите длины векторов
746 Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ=5 см, ∠D=45°. Найдите длины векторов BD, CD и АС .
747 Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.
748 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы:
749 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы:
750 Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то АВ = CD.
751 Определите вид четырехугольника ABCD, если:
752 Верно ли утверждение:
Название темы: Сложение и вычитание векторов
753 Турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ+ВС и АС ?
754 Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y .
755 Начертите попарно неколлинеарные векторы а , b, с , d , е и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор а+b + c+ d + e.
756 Начертите попарно неколлинеарные векторы х , у , z и постройте векторы х-у , z -у , х - z , - х , -у , - z .
757 Начертите векторы х, у и z так, чтобы x↑↑y, x↑↓z . Постройте векторы х+у , у - z , х + z .
758 Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы | а |≠| b |. Постройте векторы: a) а - b ; б) b-a;в)-а+b. Выполните еще раз построение для случая, когда |a| = |b|.
759 Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN+NQ=MP+PQ; б) MN+NP= = MQ + QP.
760 Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливо неравенство | х + у |<| х |+| у |.
761 Докажите, что если А, В, С и D — произвольные точки, то AB + BC + CD + DA= 0.
762 Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найдите: а) |AB+BC|; б) |АВ+АС|; в) |AB+CB|; г)|BA-BC|; д)|АВ-АС|.
763 В треугольнике АВС АВ=6, ВС=8, ∠B=90°. Найдите: а) |ВА|-|ВС| и |ВА- ВС|; б)|АВ|+|ВС| и |AB+ВС|; в)|ВА|+|ВС| и |ВА + ВС|; г) |АВ|-|ВС| и |АВ-ВС|.
764 Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражения: а) (АВ + ВС -МС) + (MD-KD); б) (СВ+АС +BD) - (MK+KD).
765 Пусть X, Y и Z— произвольные точки. Докажите, что векторы р =XY+ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY) - ZX нулевые.
766 На рисунке 259 изображены векторы а, b , с , d , XY. Представьте вектор XY в виде суммы остальных или им противоположных векторов.
767 Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а=АВ и b=АС следующие векторы: а) ВА; б) СВ; в) СВ+ВА.
768 Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а=АМ и b=AN.
769 Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы B1C, ВВ1, ВА, ВС через х =АВ1 и у=АВ.
770 Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если: а) а=АВ, b=BC;б) а =СВ, b=CD; в) а =АВ, b = DA.
771 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы а=АВ и b=AD векторы: DC + CB, ВО+ОС, ВО-ОС, BA-DA.
772 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА+ХС=XB+XD, где X— произвольная точка плоскости.
773 Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо неравенство | х - у | ≤ | х |+| у |. В каком случае |х-у| = |х|+|у|?
774 Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью 3√3 м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист?
Название темы: Умножение вектора на число
775 Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О отложите векторы, равные 2 р и ½q
776 Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½y; г) 1½x-3у; д)0х + 4у; е) -2х + 0у . Выполните задания а) — е) для двух коллинеарных ненулевых векторов x и y.
777 Начертите два неколлинеарных вектора р и q , начала которых не совпадают. Постройте векторы m=2p-½q, n=p+3q, l=-2p-½q, s=⅔q-p.
778 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы: а) 2а + 3b - 4c; б) ½a-b+⅓c.
779 Дан вектор р = 3а , где а ≠ 0. Напишите, как направлен каждый из векторов а , -а , ½а, -2а, 6а по отношению к вектору р , и выразите длины этих векторов через |р|.
780 Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а) 1 • а = а ; б) (-1) • а = —а.
781 Пусть х = m+n , у =m-n . Выразите через m и n векторы: а) 2х - 2у ; б) 2x + ½у ; в)-x-⅓y.
782 В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и ВС = b .
783 Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем ВМ:МС=3:1. Выразите векторы AM и MD через векторы а = AD и b=АВ.
784 В паралеллограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М— точка на стороне AD, такая, что AM=½MD. Выразите через векторы х =AD, у =АВ следующие векторы: а) АС , АО ,СО, DO, AD+BC, AD+CO, СО+ОА; б) AM, МС, ВМ, ОМ.
785 Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. Докажите, что MN=½(AD+CB).
786 Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1 через векторы а =АС и b =АВ.
787 Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через векторы a=ED и b =EF.
788 Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.
Название темы: Применение векторов к решению задач
789 На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2, ВСС1В2, ACC2A1. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А1А2, В1В2 и C1C2.
790 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.
791 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.
792 Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 62).
Название темы: Средняя линия трапеции
793 Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.
794 Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4. Найдите два других отрезка.
795 Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.
796 Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС1 и DD1 к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD1, если СС1=11 см, a CD = 27 см.
797 Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
798 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
799 Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведенный из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Название темы: Дополнительные задачи
800 Докажите, что если векторы m и n сонаправлены, то |m+n|=|m|+ |n|, а если тип противоположно направлены, причем |m| ≥|n|, то |m+n| = |m|-|n|.
801 Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |х|-|у|≤|х + у|≤|х| + |у|.
802 На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN=2NC. Выразите вектор AN через векторы а=ВА и b=ВС.
803 На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответственно точки X и Y так, что MX/XN=2/3 и NY/YP=3/2. Выразите векторы XY и МР через векторы a = NM и b=NP.
804 В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена точка К, такая, что АК=⅓AD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы а =ВА и b=CD.
805 Три точки А, В и С расположены так, что ВС = ½ АВ. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство ОВ = ⅓ОА + ⅔ОС .
806 Точка С делит отрезок АВ в отношении m : n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство OC=n/(m+n) OA + m/(m+n) OB..
807 Пусть AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC, О — произвольная точка. Докажите, что ОА + ОВ + OC= OA1+OB1+OC1.
808* Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC = OB + OD.
809 В прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Найдите ее среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а.
810 Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн