Задачи на тему Подобные треугольники
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 8 класс по предмету Геометрия

Название темы: Определение подобных треугольников
533 Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?
534 Пропорциональны ли изображенные на рисунке 189 отрезки: а) AC, CD и М1М2, ММ1; б) АВ, ВС, CD и ММ2, MM1, М1М2; в) АВ, BD и MM1, М1М2?
535 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
536 Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD= 7,5 см, DC=4,5cm. б) Найдите DC, если АВ = 30, AD = 20, ВС= 16.
537 Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если АВ = 14 см, ВС = 20см, АС=21 см.
538 Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника ABC равен 42 см.
539 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN= 7 см, NK=6 см, МК=5 см.
540 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF=8 см, EF=12 см.
541 Подобны ли треугольники ABC и DEF, если ∠A= 106°, ∠B = 34°, ∠E = 106°, ∠F=40°, АС=4,4см, АВ = 5,2см, BC=7,6см, DE = 15,6см, DF=22,8см, EF=13,2см?
542 В подобных треугольниках ABC и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС =5 см, СА=7см, KM/AB=2,1.
543 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.
544 Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.
545 Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника А1В1С1 на 77 см2. Найдите площади треугольников.
546 План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображенного на плане треугольника равна 87,5 см2. Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1:100 000.
547 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
548 Треугольники ABC и А1В1С1 подобны. Сходственные стороны ВС и В1С1 соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников ABC и А1В1С1.
549 Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см.
Название темы: Признаки подобия треугольников
550 По данным рисунка 193 найдите x и y.
551 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: a) EF и FC, если DE=8cm, ЕС=4 см, ВС= 7 см, АЕ=10см; б) DE и ЕС, если АВ = 8 см, AD=5 см, CF=2 см.
552 Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:
553 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
554 Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.
555 Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC, причем MN||AC, NP||AB. Найдите стороны четырехугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см, АС= 15 см, PN:MN=2:3; б) АМ=АР, АВ=а, АС=b.
556 Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 194).
557 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8см; б) BD и DE, если АВ = 10 см, АС=8 см, ВС=4 см, СE = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 :1 и DE = 12 см.
558 Прямые а и b пересечены параллельными прямыми АА1, BB1, CC1, причем точки А, В и С лежат на прямой a, а точки A1, В1и С1 — на прямой b. Докажите, что AB/BC=A1B1/B1C1.
559 На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ=5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8 см и AF= 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.
560 Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: а) АВ = 3 см, ВС=5 см, СА=7 см, А1В1=4,5см, В1С1 = 7,5 см, C1A1 = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС=3см, СА=4,2см, А1В1=34дм, B1C1=60дм, С1А1=84дм?
561 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
562 В треугольнике ABC сторона АВ равна а, а высота CH равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.
563 Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение AK/KC, если: а) М — середина отрезка AD; б) AM/MD=½.
Название темы: Применение подобия к доказательству теорем и решению задач
564 Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
565 Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
566 Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см.
567 Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
568 Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.
569 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.
570 Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.
571 В треугольнике ABC медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника АВО равна S.
572 Найдите: a) h, а и b, если bс= 25, ас=16; б) h, а и b, если bс = 36, ас=64; в) а, с и ас, если b=12, bс= 6; г) b, с и bс, если а = 8, ас= 4; д) h, b, ас и bс, если а = 6, с = 9.
573 Выразите ас и bс через а, b и с.
574 Докажите, что:
575 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.
576 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.
577 В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
578 Используя утверждение 2°, п. 63, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2.
579 Для определения высоты столба A1C1, изображенного на рисунке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если ВС1 = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?
580 Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.
581 Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 203. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС= 165 см, ВС= 12 см, AD)=120 см, DE = 4,8m, ∠1=∠2.
582 Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC. Найдите АВ, если АС= 42 м, А1С1 =6,3 см, А1В1= 7,2 см.
583 На рисунке 204 показано, как можно определить ширину ВВ1 реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и АВ1С1. Определите ВВ1, если АС=100 м, АС1=32 м, АВ1=34 м.
584 Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.
Название темы: Задачи на построение
585 Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2 : 5; б) 3 : 7; в) 4 : 3.
586 Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины меньшего из данных углов.
587 Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.
588 Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если известно, что АВ :АС=2 : 3.
589 Постройте треугольник ABC по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ :АС=2 : 1.
590 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
Название темы: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника ABC с прямым углом С, если: а) ВС=8, АВ=17; б) ВС=21, АС=20; в) ВС=1, АС=2; г)АС=24, АВ = 25.
592 Постройте угол а, если:
593 Найдите: a) sin α и tg α, если cos α= ½; б) sin α и tg α, если cos α= ⅔; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = ¼.
594 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b=10 см, β=50°.
595 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b=12см, α=42°.
596 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с=24 см, а α=35°.
597 Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b=15.
598 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно а.
599 Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен а.
600 Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)?
601 Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.
602 Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
603 В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.
Название темы: Дополнительные задачи
604 Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, АВ = 6см, ВС=9 см, СА= 10 см. Наибольшая сторона треугольника А1В1С1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника
605 Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 =a⋅b, где а и b — основания трапеции.
606 Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK: ON, если MN=5 см, NP=3 см, МР=7 см.
607 Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
608 На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АОВ с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что АМ<МС.
609 На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB=DC/AC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.
610 Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит сторону АС в отношении 2:7, считая от вершины А. Найдите стороны отсеченного треугольника, если АВ= 10 см, ВС = 18 см, СА=21,6 см.
611 Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.
612 Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены веревками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что: a) m/d=x/b и n/d=x/a; б) x/a+x/b =1. Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD.
613 Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если:
614 Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.
615* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b.
616 Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
617 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
618 Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
619 Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите что BD/AB=DC/AC.
620 В треугольнике ABC (AB≠AC) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD=CE.
621 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = а. Найдите площадь трапеции.
622 На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что AK=¼KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см2.
623 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A=∠B=90°, ∠ACD=90°, ВС=4 см, AD=16 см. Найдите углы С и D трапеции.
624 Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
625 Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите площадь трапеции ABCD.
626* Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если
627 Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC, площадь которого в два раза больше площади треугольника ABC.
628 Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна ab/c.
629 Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
630 Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн