Задачи на тему Окружность
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 8 класс по предмету Геометрия

Название темы: Касательная к окружности
631 Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d =4,2 см; в) r =7,2 дм, d =3,7 дм; г) r = 8 см, d = 1,2 дм; д) r = 5 см, d =50 мм?
632 Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
633 Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
634 Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде АВ.
635 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
636 Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.
637 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
638 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА=2 см, а r = 1,5 см.
639 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.
640 Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.
641 Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
642 На рисунке 213 ОВ=3см, ОА=6 см. Найдите АВ, AC, ∠3 и ∠4.
643 Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB =30°, АВ=5 см.
644 Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.
645 Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1.
646 В треугольнике ABC угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВА и ВС.
647 Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а)ОА=5см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА=4см; в) ∠HAO= 30°, ОА = 6 см?
648 Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.
Название темы: Центральные и вписанные углы
649 Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB= 180°.
650 Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB=180°.
651 Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.
652 На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что ∪AC=37°, ∪BD=23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см.
653 Найдите вписанный угол ABC, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.
654 По данным рисунка 222 найдите х.
655 Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
656 Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.
657 Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
658 Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ∪BD = 110°20'.
659 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.
660 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.
661 Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°.
662 Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.
663 Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠MAB=∠ACB.
664 Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.
665 Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ∠C>∠A и ∠C>∠B.
666 Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ= 9, CE=ED; в) АЕ = 0,2, ВЕ = 0,5, CE=0,4.
667 Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1 если АС=4 см, СА1=8 см.
668 Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
669 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
670 Через точку А проведены касательные АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что AB2 = AP⋅AQ.
671 Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС=2 см; б) АВ = 5 см, AD=10 см.
672 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках B1, C1 а другая — в точках В2, С2. Докажите, что АВ1⋅АС1=АВ2⋅АС2.
673 К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.
Название темы: Четыре замечательные точки треугольника
674 Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О проведены перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Докажите, что AB⊥OM.
675 Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.
676 Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r = 5 см, ∠A=60°; б) r, если ОА= 14 дм, ∠A=90°.
677 Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.
678 Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите углы ACM и ВСМ, если: a) ∠AMB = 136°; б)∠AMB = 111°.
679 Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD и CD, если BD=5 см, АС=8,5 см; б) АС, если BD = 11,4см, AD=3,2 см.
680 Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A=∠B+∠С.
681 Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника ABC равен 27 см, а АВ=18 см.
682 Равнобедренные треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.
683 Докажите, что если в треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.
684 Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ.
685 Высоты АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника ABC, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
686 Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
687 Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. На прямой а постройте точку М, равноудаленную от точек А и В.
688 Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри данного угла, равноудаленную от его сторон и равноудаленную от концов данного отрезка.
Название темы: Вписанная и описанная окружности
689 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
690 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
691 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
692 В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10см, ВС =12 см, СА= 5 см.
693 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
694 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.
695 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника.
696 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
697 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
698 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.
699 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
700 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
701 Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.
702 В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ∪ВС= 134°; б) ∪АС= 70°.
703 В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ∪ВС= 102°.
704 Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы, б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α.
705 Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8см, ВС=6см; б) АС= =18 см, ∠B=30°.
706 Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.
707 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
708 Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
709 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
710 Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
711 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.
Название темы: Дополнительные задачи
712 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
713 Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и угол MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
714* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
715 Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полуокружности, равны.
716 Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если ∪AB = ∪CD, то AB=CD.
717 Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
718 По данным рисунка 237 докажите, что
719 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.
720 Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
721 Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
722 Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что АВ : CD=2 : 3, AD : ВС=2 : 1. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S.
723 Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
724 Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
727 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
728 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
729* Докажите, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
730 Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырехугольника АСВО можно описать окружность.
731 Докажите, что около выпуклого четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
732 В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.
733 Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
734 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
735 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
736 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
737 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
738 Отметьте точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
739 Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор AC, который изображает перемещение из начальной точки в конечную.
740 Начертите векторы АВ, CD, и EF так, чтобы:
741 Начертите два неколлинеарных вектора a и b . Изобразите несколько векторов: a) сонаправленных с вектором a ; б) сонаправленных с вектором b ; в) противоположно направленных вектору b ; г) противоположно направленных вектору a.
742 Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные; б) имеющие равные длины и сонап-равленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны?
743 Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, равные а.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн