Задачи на тему Соотношения между сторонами и углами треугольника
из задачника Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 7 класс по предмету Геометрия

Название темы: Сумма углов треугольника
223 Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A=65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B= 130°; в) ∠A=α, ∠B=2α; г) ∠A = 60°+α, ∠B = 60°-α.
224 Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.
225 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
226 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.
227 Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
228 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
229 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C= 50°.
230 Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A= 58°, ∠B = 96°.
231 Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
232 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
233 Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
234 Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
235 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.
Название темы: Соотношения между сторонами и углами треугольника
236 Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ>ВС>АС; б) АВ=АС < ВС.
237 Сравните стороны треугольника ABC, если: a) ∠A>∠B>∠C; б) ∠A>∠B=∠C.
238 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
239 Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.
240 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.
241 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
242 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
243 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC=AD.
244 Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону AB в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный.
245 Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN =ВМ + CN.
246 На рисунке 129 лучи ВО и СО— биссектрисы углов B и С треугольника ABC, ОЕ||AB, OD||AC. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка ВС.
247 На рисунке 130 AB=АС, AP=AQ. Докажите, что: а) треугольник BОС — равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
248 Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
249 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?
250 Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
251 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
252 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
253 Периметр равнобедренного треугольника равен 25см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.
Название темы: Прямоугольные треугольники
254 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
255 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.
256 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
257 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+AB=18 см. Найдите АС и АВ.
258 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если AB = 12 см.
259 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.
260 Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.
262 В треугольниках ABC и А1В1С1 углы А и А1 — прямые, BD и В1D1— биссектрисы. Докажите, что ΔАВС=ΔА1В1С1, если ∠B=∠B1 и BD=B1D1
263 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC= 140°.
264 Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A= 55°, ∠B = 67°.
265 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.
266 На сторонах угла О отмечены точки А и B так, что ОА=ОB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
267 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.
268 Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
269 Докажите, что ΔАВС=ΔА1B1С1, если ∠A=∠A1, ∠B=∠B1 и ВН=В1Н1, где ВН и В1Н1 — высоты треугольников ABC и А1В1С1.
270 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
Название темы: Построение треугольника по трем элементам
271 Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
272 В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.
273 Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.
274 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.
275 На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC.
276 Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
277 Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.
278 Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC=30°, AD=6 см.
279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
280 Даны неразвернутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние PQ?
281 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
282 Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х∈а, Y∈b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудаленной от этих прямых.
283 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
284 Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми a и b было равно АВ.
285 Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удаленную от прямой b на расстояние PQ.
286 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
287 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
288 Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы:
289 Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB=PQ, ∠A=∠hk,
290 Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
291 Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию.
292 Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3. Постройте треугольник ABC так, чтобы:
293 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне.
294 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.
295 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон.
296 В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол BОС равен внешнему углу треугольника при вершине B.
297 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC=BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.
298 На рисунке 145 AD||BE, AC=AD и ВС=ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.
299 На рисунке 146 АВ=АС, AP=PQ =QR =RB =ВС. Найдите угол А.
300 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
301 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:
302 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные AM1 и AM2 . Докажите, что:
303* Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. Указание. Продолжите медиану AM за точку М на отрезок AD, равный AM, и рассмотрите треугольник ABD.
304* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC у то МB+МС < AB+АС.
305 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
306 Докажите, что если AB=АС + СB, то точки А, B и С лежат на одной прямой.
307 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
308 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине B равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.
309 В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов B и С.
310 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны.
311 Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?
312 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
313* Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
314 Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету.
315 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.
316* Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.
317 Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE=AD + СЕ.
318 Дан равносторонний треугольник ABC и точка В1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и С1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним.
319* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.
320* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.
321* Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн