Решебник Погорелов, 7 класс (Геометрия)

Скачать на нашем сайте решебник не получится, он доступен только для просмотра онлайн
Смотреть решебник Погорелов 7 класс

Разделы решебника:

Основные свойства простейших геометрических фигур § 1

Смежные и вертикальные углы § 2

Признаки равенства треугольников § 3

Сумма углов треугольника § 4

Геометрические построения § 5


Список всех задач из учебника:

Основные свойства простейших геометрических фигур § 1

№ 1. 1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой. 2) Проведите две пересекающиеся прямые а и b. Отметьте точку С пересечения прямых: точку А на прямой а, не лежащую на прямой b; точку D, не лежащу
(смотреть решение →)
№ 2. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность построения.
(смотреть решение →)
№ 3. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения?
(смотреть решение →)
№ 4. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию. Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве пря
(смотреть решение →)
№ 5. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С.
(смотреть решение →)
№ 6. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ.
(смотреть решение →)
№ 7. Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если 1)СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, MD = 5,8 м.
(смотреть решение →)
№ 9. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
(смотреть решение →)
№ 10. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 11. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 13. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 14. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?
(смотреть решение →)
№ 15. На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
(смотреть решение →)
№ 16. Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее.
(смотреть решение →)
№ 17. Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 18. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают пряму
(смотреть решение →)
№ 19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую
(смотреть решение →)
№ 20. Даны прямая a и точки А, X, У, Z на этой прямой. Известно, что точки X, У лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? О
(смотреть решение →)
№ 21. Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
(смотреть решение →)
№ 22. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 24. Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если 1) ∠(ac) = 35°, ∠(ad) = 75°; 2)∠(ac) = 57°, ∠(ad) = 62°; 3) ∠(ac) = 94°, ∠(ad) = 85°.
(смотреть решение →)
№ 25. Может ли луч С проходить между сторонами угла (ab), если 1) ∠(ac) = 30°, ∠(cb) = 80°, ∠(ab) = 50°; 2) ∠(ac) = 100°, ∠(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (ab)?
(смотреть решение →)
№ 26. Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч c. Найдите углы (ос) и (bc), если 1) угол (ас) на 30° больше угла (bс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (bс); 3) луч c делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (bс) отно
(смотреть решение →)
№ 29. Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 30. На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 31. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.
(смотреть решение →)
№ 33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см?
(смотреть решение →)
№ 34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите угол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°.
(смотреть решение →)
№ 36. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 37. Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°. Найдите углы треугольника АВС.
(смотреть решение →)
№ 38. Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 39. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника.
(смотреть решение →)
№ 40. Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD?
(смотреть решение →)
№ 41. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 42. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
(смотреть решение →)
№ 43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?
(смотреть решение →)
№ 44*. Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
№ 45*. Даны четыре прямые а, b, с и d. Известно, что прямые а, b, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку.
(смотреть решение →)
№ 46*. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются.
(смотреть решение →)
№ 47*. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются.
(смотреть решение →)
№ 48*. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD.
(смотреть решение →)
№ 49*. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла.
(смотреть решение →)
№ 50. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
(смотреть решение →)
№ 51*. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС.
(смотреть решение →)

Смежные и вертикальные углы § 2

№ 1. Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°.
(смотреть решение →)
№ 2. Могут ли два смежных угла быть оба 1) острыми, 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ.
(смотреть решение →)
№ 3. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
(смотреть решение →)
№ 4. Найдите смежные углы, если 1) один из них на 30° больше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из них в 3 раза меньше другого; 4) они равны.
(смотреть решение →)
90° : 3=30°; 90°+30°=120°
(смотреть решение →)
№ 6. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23.
(смотреть решение →)
№ 7. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
(смотреть решение →)
№ 8. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
(смотреть решение →)
№ 9. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
№ 10. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
№ 11. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
№ 12. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
(смотреть решение →)
№ 13. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.
(смотреть решение →)
№ 14. Как с помощью линейки проверить, является ли прямым угол в чертежном угольнике?
(смотреть решение →)
№ 15. Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного 1) 30°; 2) 52°; 3) 172°?
(смотреть решение →)
№ 16. Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°.
(смотреть решение →)
№ 17. Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°.
(смотреть решение →)
№ 18*. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.
(смотреть решение →)
№ 19. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
(смотреть решение →)
№ 20. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
№ 21. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°.
(смотреть решение →)
№ 22*. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ. Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла АОВ
(смотреть решение →)
№ 23. Из вершины развернутого угла (aa1) в одну полуплоскость проведены лучи b и с. Чему равен угол (bc), если 1)∠(ab) = 50°; ∠(ac) = 70°; 2)∠(ab) = 50°; ∠(ac) = 70°; 3) ∠(ab) = 60°; ∠(a1c) = 30°?
(смотреть решение →)
№ 24. Из вершины развернутого угла (аа1) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что ∠(ab) = 60°, ∠(ac) = 30°. Найдите углы (a1b), (a1c) и (bc).
(смотреть решение →)
№ 25. От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и BAD. Найдите угол CAD, если 1) ∠BAC = 80°, ∠BAD = 170°; 2) ∠BAC = 87°, ∠BAD = 98°; 3) ∠BAC = 140°, ∠BAD = 30°; 4) ∠BAC = 60°, ∠BA
(смотреть решение →)
№ 26*. Даны три луча а, b, с с общей начальной точкой. Известно, что ∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120°.
(смотреть решение →)

Признаки равенства треугольников § 3

№ 1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
(смотреть решение →)
№ 2. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В.
(смотреть решение →)
№ 3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне А1В1 треугольника А1В1С1 взята точка D1. Известно, что треугольники ADC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.
(смотреть решение →)
№ 4. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Измеряют расстояния АС и ВС, продолжа
(смотреть решение →)
№ 5. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО.
(смотреть решение →)
№ 6. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО.
(смотреть решение →)
№ 7. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
(смотреть решение →)
№ 8. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А
(смотреть решение →)
№ 9. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны.
(смотреть решение →)
№ 10. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
(смотреть решение →)
№ 11. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание: 1) меньше боковой стороны на 3 м; 2) больше боковой стороны на 3 м.
(смотреть решение →)
№ 12. Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.
(смотреть решение →)
№ 13. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников 1) САВ1 и СВА1. 2) АВВ1 и ВАА1.
(смотреть решение →)
№ 14. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А1 и В1. Известно, что АВ1 = ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны.
(смотреть решение →)
№ 15. Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС1. Докажите, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные.
(смотреть решение →)
№ 16. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12.
(смотреть решение →)
№ 17. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С1 и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны.
(смотреть решение →)
№ 18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника. 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
(смотреть решение →)
№ 20. Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
(смотреть решение →)
№ 21. Докажите, что у равных треугольников ABC и A1B1C1: 1)медианы, проведенные из вершин А и А1, равны; 2) биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.
(смотреть решение →)
№ 22. Точки А, С, В, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.
(смотреть решение →)
№ 23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
(смотреть решение →)
№ 24. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: 1) ABD и CBD; 2) AMD и CMD.
(смотреть решение →)
№ 25. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.
(смотреть решение →)
№ 26. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
№ 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м.
(смотреть решение →)
№ 28. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
(смотреть решение →)
№ 29. У треугольников АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠С = ∠С1 = 90°. Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1
(смотреть решение →)
№ 30. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота а, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
(смотреть решение →)
№ 31. Треугольники АВС и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСС1 и ВСС1.
(смотреть решение →)
№ 32*. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ1 и АВЕ2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны.
(смотреть решение →)
№ 33. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.
(смотреть решение →)
№ 34. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
(смотреть решение →)
№ 35. Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла АСВ.
(смотреть решение →)
№ 36. Докажите, что в № 35 прямые АВ и CD перпендикулярны.
(смотреть решение →)
№ 37. Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD делит отрезок АВ пополам.
(смотреть решение →)
№ 38. Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников АВС и DCB.
(смотреть решение →)
№ 39. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.
(смотреть решение →)
№ 40. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.
(смотреть решение →)

Сумма углов треугольника § 4

№ 1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
(смотреть решение →)
№ 2. Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.
(смотреть решение →)
№ 3. Дано: a || b || с || d. Докажите, что a || d.
(смотреть решение →)
№ 4. Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD.
(смотреть решение →)
№ 5. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а на стороне АС — точка С1. Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1.
(смотреть решение →)
№ 6. Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке.
(смотреть решение →)
№ 7. Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 8. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.
(смотреть решение →)
№ 9. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
(смотреть решение →)
№ 10. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
(смотреть решение →)
№ 11. Треугольники ЛВС и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
(смотреть решение →)
№ 12. Угол ABC = 80°, а угол BCD = 120°. Могут ли прямые AB и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.
(смотреть решение →)
№ 13. Прямые АС и BD параллельны, прячем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС. Докажите, что 1) углы DBC и АСВ — внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA — внутренние о
(смотреть решение →)
№ 14. 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
№ 15. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов.
(смотреть решение →)
№ 16. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 17. Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
(смотреть решение →)
№ 18. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°.
(смотреть решение →)
№ 19. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7.
(смотреть решение →)
№ 20. Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
(смотреть решение →)
№ 21. Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
(смотреть решение →)
№ 22. Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 1) 40°; 2) 55°; 3) 72°.
(смотреть решение →)
№ 23. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковым сторонами равен 1) 80°; 2) 120°; 3) 30°.
(смотреть решение →)
№ 24. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.
(смотреть решение →)
№ 25. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
(смотреть решение →)
№ 26. Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
(смотреть решение →)
№ 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен 1) 60°; 2) 75°; 3) α.
(смотреть решение →)
№ 28. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.
(смотреть решение →)
№ 29. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если 1) АА = 50°, АВ = 100°; 2) АА = α, АВ = β; 3) АС = 130°; 4) АС = γ.
(смотреть решение →)
№ 30. Чему равны углы равностороннего треугольника?
(смотреть решение →)
№ 31. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?
(смотреть решение →)
№ 32. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника.
(смотреть решение →)
№ 33. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
(смотреть решение →)
№ 34. Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол.
(смотреть решение →)
№ 35. В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
(смотреть решение →)
№ 36. В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ.
(смотреть решение →)
№ 37. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
(смотреть решение →)
№ 38. Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
(смотреть решение →)
№ 39. Треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = АВ и СЕ = СВ. как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
(смотреть решение →)
№ 40. У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника.
(смотреть решение →)
№ 41. Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBD, зная, что 1) ∠A = 20°; 2) ∠A = 65°; 3) ∠A = α.
(смотреть решение →)
№ 42. Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD и CBD, зная, что ∠А = α, ∠В = β.
(смотреть решение →)
№ 43. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
(смотреть решение →)
№ 44. Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
(смотреть решение →)
№ 45. В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABD.
(смотреть решение →)
№ 46. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70°, ∠С = 80°.
(смотреть решение →)
№ 47. В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника.
(смотреть решение →)
№ 48. Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.
(смотреть решение →)
№ 49. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.
(смотреть решение →)
№ 50. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
(смотреть решение →)
№ 51. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны.
(смотреть решение →)

Геометрические построения § 5

№ 1. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
(смотреть решение →)
№ 2. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
(смотреть решение →)
№ 3. Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей.
(смотреть решение →)
№ 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи № 3.
(смотреть решение →)
№ 5. 1) Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними. 2) Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
(смотреть решение →)
№ 6. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
(смотреть решение →)
№ 7. Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
№ 8. Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
(смотреть решение →)
№ 9. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А ?
(смотреть решение →)
№ 10. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
(смотреть решение →)
№ 11. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания.
(смотреть решение →)
№ 12. Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
(смотреть решение →)
№ 13*. 1) Точки А , В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
(смотреть решение →)
№ 14*. 1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
(смотреть решение →)
№ 15*. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая
(смотреть решение →)
№ 16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны. 2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
(смотреть решение →)
№ 17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.
(смотреть решение →)
№ 18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 =(AB+AC-BC)/2.
(смотреть решение →)
№ 19. Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с.
(смотреть решение →)
№ 20. Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.
(смотреть решение →)
№ 21. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
(смотреть решение →)
№ 22. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
(смотреть решение →)
№ 23. Постройте треугольник АВС по следующим данным: 1)по двум сторонам и углу между ними: а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40°; б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70°. 2) по стороне и прилежащим к ней углам: а) АВ = 6 см, ∠А = 30°, ∠В
(смотреть решение →)
№ 24. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них. 1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70°; 2) а = 4 см, b = 6 см, β
(смотреть решение →)
№ 25. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
(смотреть решение →)
№ 26. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.
(смотреть решение →)
№ 27. Разделите угол на четыре равные части.
(смотреть решение →)
№ 28. Постройте углы 60° и 30°
(смотреть решение →)
№ 29. Дан треугольник. Постройте его медианы.
(смотреть решение →)
№ 30. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
(смотреть решение →)
№ 31. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
(смотреть решение →)
№ 32. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
(смотреть решение →)
№ 33. Дан треугольник. Постройте его высоты.
(смотреть решение →)
№ 34. Постройте окружность, описанную около данного треугольника.
(смотреть решение →)
№ 35. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
(смотреть решение →)
№ 36. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
(смотреть решение →)
№ 37. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
(смотреть решение →)
№ 38. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
(смотреть решение →)
№ 39. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.
(смотреть решение →)
№ 40. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
(смотреть решение →)
№ 41. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h.
(смотреть решение →)
№ 42. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
(смотреть решение →)
№ 43. Даны три точки А, В, С. Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
(смотреть решение →)
№ 44. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
(смотреть решение →)
№ 45. Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.
(смотреть решение →)
№ 46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
(смотреть решение →)
№ 47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
(смотреть решение →)
№ 48*. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.
(смотреть решение →)
№ 49. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную
(смотреть решение →)
№ 50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям.
(смотреть решение →)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн