Решебник Погорелов, 10 класс (Геометрия)

Скачать на нашем сайте решебник не получится, он доступен только для просмотра онлайн
Смотреть решебник Погорелов 10 класс

Разделы решебника:

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия §15

Параллельность прямых и плоскостей § 16

Перпендикулярность прямых и плоскостей §17

Декартовы координаты и векторы в пространстве §18


Список всех задач из учебника:

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия §15

1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.1
(смотреть решение →)
2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните.
(смотреть решение →)
3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения.
(смотреть решение →)
5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
(смотреть решение →)
6. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
7. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
(смотреть решение →)
8. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.
(смотреть решение →)
9. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
10. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
11. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
12. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящий через три из этих точек? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
13. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
14. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)

Параллельность прямых и плоскостей § 16

1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.
(смотреть решение →)
2. Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и b? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
4. Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1 В1 и M1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:1) АА1 = 5 м, ВВ1 = 7 м;2) АА1 = 3,6 дм, ВВ1
(смотреть решение →)
6. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
(смотреть решение →)
7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1 Найдите длину отрезка ВВ1 если:1) СС1 = 15см, АС : ВС = 2 : 3;2) СС1 = 8,1см, АВ : АС = 1
(смотреть решение →)
8. Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1 и D1. Найдите длину отрезка DD1, если:1) АА1 = 2 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 8 м;2) АА1
(смотреть решение →)
9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?
(смотреть решение →)
10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
(смотреть решение →)
11. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
(смотреть решение →)
12. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.
(смотреть решение →)
13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1.
(смотреть решение →)
14. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
(смотреть решение →)
15. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
(смотреть решение →)
16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
(смотреть решение →)
17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.
(смотреть решение →)
18. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
(смотреть решение →)
19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
(смотреть решение →)
20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?
(смотреть решение →)
21. Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым.
(смотреть решение →)
22. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.
(смотреть решение →)
23. Плоскости α и β параллельны плоскости γ Могут ли плоскости α и β пересекаться?
(смотреть решение →)
24. Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.
(смотреть решение →)
25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
(смотреть решение →)
26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
(смотреть решение →)
27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм.
(смотреть решение →)
28. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1 тоже параллелограмм.
(смотреть решение →)
29. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.
(смотреть решение →)
30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.
(смотреть решение →)
31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.
(смотреть решение →)
32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?
(смотреть решение →)
33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х1
(смотреть решение →)
34. Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α.
(смотреть решение →)
35. Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3. Пусть Х1, Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т.е. одинаково для любых двух прямых.
(смотреть решение →)
36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
(смотреть решение →)
37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
(смотреть решение →)
38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
(смотреть решение →)
39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
(смотреть решение →)
40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
(смотреть решение →)
41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
(смотреть решение →)
42. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
(смотреть решение →)

Перпендикулярность прямых и плоскостей §17

1. Докажите. что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
(смотреть решение →)
2. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
(смотреть решение →)
3. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.Найдите отрезок CD, если:1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см;3) АВ = b, ВС = а, AD = d;4) BD = с, ВС = а, AD = d.
(смотреть решение →)
4. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника А1B1C1D1 соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
(смотреть решение →)
5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной этой плоскости.
(смотреть решение →)
6. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершины треугольника.
(смотреть решение →)
7. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК.
(смотреть решение →)
8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с.
(смотреть решение →)
9. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
(смотреть решение →)
10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.
(смотреть решение →)
11. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
(смотреть решение →)
12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.
(смотреть решение →)
13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что:1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ;2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ.
(смотреть решение →)
14. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.
(смотреть решение →)
15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.
(смотреть решение →)
16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
(смотреть решение →)
17. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
(смотреть решение →)
18. Из точки S вне плоскости α проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
(смотреть решение →)
19. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.
(смотреть решение →)
20. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
(смотреть решение →)
21. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.
(смотреть решение →)
22. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
(смотреть решение →)
23. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных.
(смотреть решение →)
24. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если:
(смотреть решение →)
25. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.
(смотреть решение →)
26. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
(смотреть решение →)
27. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекция катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
(смотреть решение →)
28. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции этих сторон.
(смотреть решение →)
29. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если АВ = а, АС = b, BD = с?
(смотреть решение →)
30. Докажите, что расстояние от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
(смотреть решение →)
31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
(смотреть решение →)
32. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
(смотреть решение →)
33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
(смотреть решение →)
34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
(смотреть решение →)
35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
(смотреть решение →)
36. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b.
(смотреть решение →)
37. Решите предыдущую задачу, считая. что отрезок АВ пересекает плоскость.
(смотреть решение →)
38. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
(смотреть решение →)
39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстающая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n.
(смотреть решение →)
40. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
(смотреть решение →)
41. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.
(смотреть решение →)
42. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
(смотреть решение →)
43. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 м. найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
(смотреть решение →)
44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
(смотреть решение →)
45. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
(смотреть решение →)
46. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
(смотреть решение →)
47. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
(смотреть решение →)
48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.
(смотреть решение →)
49. Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а.
(смотреть решение →)
50. Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
(смотреть решение →)
51. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.
(смотреть решение →)
52. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
(смотреть решение →)
53. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ= а, ВС=Ь, CD= с.
(смотреть решение →)
54. Даны прямая а и плоскость α. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости α.
(смотреть решение →)
55. Даны прямая а и плоскость α. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости α.
(смотреть решение →)
56. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восстановлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1B1, если АВ = 2 м, СА1 = 3 м; СВ1 = 7 м и отрезок А1B1 не пересекает плоскость треу
(смотреть решение →)
57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересек
(смотреть решение →)
58. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
(смотреть решение →)
59. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м;2) АС = 3 м, BD = 4 м, СD = 12 м;3) AD = 4 м, ВС =
(смотреть решение →)
60. Точка находится на расстоянии а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
(смотреть решение →)
61. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости в проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите р
(смотреть решение →)
62. Перпендикулярные плоскости а и в пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая а || с, в плоскости в — прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с — 0,8 м.
(смотреть решение →)

Декартовы координаты и векторы в пространстве §18

1. Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?
(смотреть решение →)
2. Даны точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(0;0;3), D(1;2;0). Какие из этих точек лежат:1) в плоскости ху;2) на оси z;3) в плоскости yz?
(смотреть решение →)
3. Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
(смотреть решение →)
4. Найдите расстояния от точки (1;2;-3) до:1) координатных плоскостей;2) осей координат;3) начала координат.
(смотреть решение →)
5. В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;1;-1), В(-1;0;1), С(0;-1;0).
(смотреть решение →)
6. Найдите точки, равноотстоящие от точек (0;0;1), (0;1;0), (1;0;0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
(смотреть решение →)
7. На оси х найдите точку С(х;0;0), равноудаленную от двух точек А(1;2;3), В(-2;1;3).
(смотреть решение →)
8. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А(1;2;3) и начала координат.
(смотреть решение →)
9. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(1;3;2), В(0;2;4), с(1;1;4), D(2;2;2) является параллелограммом.
(смотреть решение →)
10. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
(смотреть решение →)
11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
(смотреть решение →)
12. Даны один конец отрезка А(2;3;-1) и его середина С(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).
(смотреть решение →)
13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны:
(смотреть решение →)
14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;-Ь) и В(-а;d;b) лежит на оси у.
(смотреть решение →)
15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С(a;b;c) и D(p;q;-c) лежит в плоскости ху.
(смотреть решение →)
16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у' = у, z' = -z.
(смотреть решение →)
17. Даны точки (1;2;3), (0;-1;2), (1;0;-3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
(смотреть решение →)
18. Даны точки (1;2;3), (0;—1;2), (1;0;—3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
(смотреть решение →)
19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
(смотреть решение →)
20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
(смотреть решение →)
21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
(смотреть решение →)
22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.
(смотреть решение →)
23. Найдите значения а, b, c в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + b, z' = z + c, если при этом параллельном переносе точка А(1;0;2) переходит в точку А'(2;1;0).
(смотреть решение →)
24. При параллельном переносе точка А(2;1;-1) переходит в точку А'(1;-1;0). В какую точку переходит начало координат?
(смотреть решение →)
25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если:1) А(2;1;0), В(1;0;1), С(3; -2;1), D(2;-3;0);2) А(-2;3;5), В(1;2;4), С(4;-3;6), D(7;-2;5);3) А(0;1;2), В(-1;0;1), С(3;-2;2), D(2;-3;1)
(смотреть решение →)
26. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.
(смотреть решение →)
27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 совмещаются параллельным переносом.
(смотреть решение →)
28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.
(смотреть решение →)
29. Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны.
(смотреть решение →)
30. Прямая а лежит в плоскости α, а прямая b перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми а и b?
(смотреть решение →)
31. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми СА и СВ, Если эти прямые образуют углы а и в с прямой АВ и α + β < 90°?
(смотреть решение →)
32. Прямые а, b, с параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми b и с, если углы этих прямых с прямой а равны 60° и 80°?
(смотреть решение →)
33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
(смотреть решение →)
34. 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
(смотреть решение →)
35. Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
(смотреть решение →)
36. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
(смотреть решение →)
37. Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
(смотреть решение →)
38. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.
(смотреть решение →)
39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
(смотреть решение →)
40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
(смотреть решение →)
41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
(смотреть решение →)
42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
(смотреть решение →)
43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
(смотреть решение →)
44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
(смотреть решение →)
45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
(смотреть решение →)
46. Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cosα, если:1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см;2) АВ = 32 см, АС = 65 см, AD = 20 см, CD = 63 см
(смотреть решение →)
47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
(смотреть решение →)
48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
(смотреть решение →)
49. 1) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD. 2) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС.
(смотреть решение →)
50. Даны четыре точки А(2;7;-3), В(1;0;3), С(-3;-4;5), D(-2;3;-1). Найдите среди векторов AB^, BC^ , DC^, AD^, AC^ и BD^ равные векторы.
(смотреть решение →)
51. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите точку D(x;y;z), если векторы AB и CD равны.
(смотреть решение →)
52. Найдите D(x;y;z), если сумма векторов AB и CD равна нулю. А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1).
(смотреть решение →)
53. Даны векторы (2, n,3)^ и (3,2, m)^. При каких m и n эти векторы коллинеарны?
(смотреть решение →)
54. Дан вектор a (1;2;3), найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А(1;1;1) и В на плоскости ху.
(смотреть решение →)
55. При каком значении n данные векторы перпендикулярны:
(смотреть решение →)
56. Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;с), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны.
(смотреть решение →)
57. Векторы a^ и b^ образуют угол 60°, а вектор с^ им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора a^ + b^ + с^ .
(смотреть решение →)
58. Векторы а^, b^ , c^ единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами:
(смотреть решение →)
59. Даны четыре точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0), D(2;-3;1). Найдите косинус угла φ между векторами АВ и CD.
(смотреть решение →)
60. Даны три точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
(смотреть решение →)
61. Докажите, что угол φ между прямыми, содержащими векторы а^ и b^ , определяется из уравнения:|a^b^| = | а^ |•| b^ |•cosφ.
(смотреть решение →)
62. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла φ между векторами ВС и BD, если угол ABD равен α, а угол АВС равен β.
(смотреть решение →)
63. Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол φ между этой прямой и наклонной.
(смотреть решение →)
64. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы α с перпендикуляром. найдите угол φ между проекциями наклонных, если угол между наклонными β.
(смотреть решение →)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн