Решебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, 9 класс (Геометрия)

Скачать на нашем сайте решебник не получится, он доступен только для просмотра онлайн
Смотреть решебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 9 класс

Разделы решебника:

Метод координат

Тема: Координаты вектора
Тема: Простейшие задачи в координатах
Тема: Применение метода координат к решению задач
Тема: Уравнения окружности и прямой
Тема: Использование уравнений окружности и прямой при решении задач
Тема: Дополнительные задачи

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Тема: Синус; косинус и тангенс угла
Тема: Соотношения в треугольнике
Тема: Скалярное произведение векторов
Тема: Применение скалярного произведения векторов к решению задач
Тема: Дополнительные задачи

Длина окружности и площадь круга

Тема: Правильные многоугольники
Тема: Длина окружности и площадь круга
Тема: Дополнительные задачи
Тема: Задачи на построение

Движения

Тема: Понятие движения
Тема: Параллельный перенос и поворот
Тема: Дополнительные задачи

Начальные сведения из стереометрии

Тема: Многогранники
Тема: Тела и поверхности вращения
Тема: Дополнительные задачи

Задачи повышенной трудности

Тема: Задачи к главе 10
Тема: Задачи к главе 11
Тема: Задачи к главе 12
Тема: Задачи к главе 13
Тема: Задачи к главе 14

Список всех задач из учебника:

Метод координат

Тема: Координаты вектора
911 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n =km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и |m|=0,5 см, |n| = 2 см; б) векторы m и n сонаправлены и |m| = 12 см, |n| = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и |m|=400 мм, |n|=4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и |m| = √2 см, |n| = √50см.
(смотреть решение →)
912 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М - середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство:
(смотреть решение →)
913 Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а +3b и а; б) b-2а и a? Ответ обоснуйте.
(смотреть решение →)
914 Докажите, что если векторы а и 6 не коллинеарны, то: а) векторы a+b и a - b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а+b не коллинеарны; в) векторы а+b и а+3b не коллинеарны.
(смотреть решение →)
915 Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причем AM: МС = 4:1. Разложите вектор AM по векторам а=АВ и b = AD.
(смотреть решение →)
916 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3а-хb = уа + b; б) 4a-xa+5b + yb = 0; в) ха + 3b -yb = 0; г) a+b-3ya + xb=0.
(смотреть решение →)
917 Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы i и j. Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а{3; 0}, b{2; -1}, c{0; -3}, d {1; 1}, e{2; √2}
(смотреть решение →)
918 Разложите векторы а , b , с , d , е и f , изображенные на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам i и j и найдите их координаты.
(смотреть решение →)
919 Выпишите координаты векторов а =2 i +3j , b = -½i -2j , с =8i , d = i - j , e =-2j , f=-i .
(смотреть решение →)
920 Запишите разложение по координатным векторам i и j вектора: а) х {-3; ⅕) у {-2; -3}; в) z {-1; 0}; г) u {0; 3}; д) v {0; 1}.
(смотреть решение →)
921 Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: а) xi +yj =5i -2j ; б) -3i + уj =xi + 7j ; в) xi + yj = -4i ; r) xi + yj = 0.
(смотреть решение →)
922 Найдите координаты вектора a + b, если: a) a {3; 2}, b {2; 5}; 6) a {3; -4}, b{1; 5}; в) a{-4; -2}, b{5; 3}; r) a{2; 7}, b{-3; -7}.
(смотреть решение →)
923 Найдите координаты вектора а - b , если: а) а {5; 3}, b{2; 1}; б) a{3; 2}, b{-3; 2}; в) a{3; 6}, b{4; -3}; г) a{-5; -6}, b{2; -4}.
(смотреть решение →)
924 Найдите координаты векторов 2а,3а,-а,-3а, если a{3; 2}.
(смотреть решение →)
925 Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с {0; 0}, d {-2; -3}, е {2; -3}, f {0, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
(смотреть решение →)
926 Найдите координаты вектора v , если: a) v =3а-3b , а {2; -5}, b {-5; 2}; б) v =2а -3b+4с , а {4; 1}, b {1; 2}, с (2; 7); в) v=3а-2б-½с, а{-7; -1}, b{-1; 7}, с {4; -6}; г) v =a -b - c , а {7; -2}, b {2; 5}, с {-3; 3}.
(смотреть решение →)
927 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
(смотреть решение →)
928 Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}. Укажите среди этих векторов попарно кол-линеарные векторы.
(смотреть решение →)
Тема: Простейшие задачи в координатах
929 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка B — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если: а) ОА = 5, OB=3; б) ОА=а, ОВ=b.
(смотреть решение →)
930 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка B — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСB, если: а) ОА=6,5, OB=3; б) ОА=а, OB = b.
(смотреть решение →)
931 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек М, N и Q.
(смотреть решение →)
932 Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника ABC, изображенного на рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО равна h.
(смотреть решение →)
933 Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).
(смотреть решение →)
934 Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), B (-2; 7); б) А (-5; 1), B (-5; 27); в)А(-3; 0), B (0; 4); г)А(0; 3), B (-4; 0).
(смотреть решение →)
935 Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите х и y:
(смотреть решение →)
936 Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните пустые клетки:
(смотреть решение →)
937 Даны точки А (0; 1) и B (5; -3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС.
(смотреть решение →)
938 Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4}; в) c{-10; -10}; г) d {10; 17); д) e{11; -11}; е) f{10; 0}.
(смотреть решение →)
939 Найдите расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат.
(смотреть решение →)
940 Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А(0; 3), В (-4; 0).
(смотреть решение →)
941 Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N(12; -2), В (5; -9).
(смотреть решение →)
942 Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4), С (5; 2).
(смотреть решение →)
943 Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причем ОА=а, OB=b, OC=h. Найдите стороны АС и ВС треугольника ABC.
(смотреть решение →)
944 Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b; с), а ОА=а. Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону АС и диагональ СО.
(смотреть решение →)
945 Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА=а и BC=d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (b; с).
(смотреть решение →)
946 Найдите х, если: а) расстояние между точками А (2; 3) и В (х; 1) равно 2; б) расстояние между точками М1(-1; х) и М2(2х; 3) равно 7.
(смотреть решение →)
947 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А(0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С(0; 1).
(смотреть решение →)
948 На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (-3; 5) и В (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).
(смотреть решение →)
949 На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).
(смотреть решение →)
950 Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М (1; 1), N (6; 1), Р (7; 4), Q (2; 4); б) М(-5; 1), N(-4; 4), Р (-1; 5), Q(-2; 2).
(смотреть решение →)
951 Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А (-3; -1), В(1; -1), С (1; -3), В(-3; -3); б) А (4; 1), В (3; 5), С(-1; 4), В(0; 0).
(смотреть решение →)
952 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.
(смотреть решение →)
953 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
(смотреть решение →)
Тема: Применение метода координат к решению задач
1006 Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
(смотреть решение →)
1007 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
(смотреть решение →)
1008 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) - (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение.
(смотреть решение →)
1009 Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
(смотреть решение →)
1010 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2AM2 - ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2.
(смотреть решение →)
Тема: Уравнения окружности и прямой
959 Начертите окружность, заданную уравнением: а) х22= 9; б) (x-1)2 + (y+2)2=4; в) (x+5)2+(y-3)2=25; г) (х-1)22=4; д) х2+(y+2)2=2.
(смотреть решение →)
960 Какие из точек А (3; -4), В(1; 0), С(0; 5), D(0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением: а) x22=25; б) (х-1)2+(у + 3)2 = 9; в) (x-½)2+y2=¼?
(смотреть решение →)
961 Окружность задана уравнением (x + 5)2 + (y-1)2= 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), B (-5; -3), С (-7; -2) и D( 1; 5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
(смотреть решение →)
962 Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А(3; 4) и В (4; -3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.
(смотреть решение →)
963 На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.
(смотреть решение →)
964 На окружности, заданной уравнением (x-3)2 + + (y-5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
(смотреть решение →)
965 Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1=3, r2= √2 , r3=5/2.
(смотреть решение →)
966 Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А(0;5), r= 3; б) А(-1;2), r = 2; в) А (-3; -7), r=½; г) А (4; -3), r =10.
(смотреть решение →)
967 Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).
(смотреть решение →)
968 Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).
(смотреть решение →)
969 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N(7; -3); б) М(2; -1), N(4; 3).
(смотреть решение →)
970 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?
(смотреть решение →)
971 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и B (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
(смотреть решение →)
972 Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).
(смотреть решение →)
973 Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.
(смотреть решение →)
974 Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD; б) среднюю линию трапеции.
(смотреть решение →)
975 Найдите координаты точек пересечения прямой 3x-4y + 12 = 0 с осями координат. Начертите эту прямую.
(смотреть решение →)
976 Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.
(смотреть решение →)
977 Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.
(смотреть решение →)
978 Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у=-4; г) х = 7.
(смотреть решение →)
979 Найдите ординату точки М, лежащей на прямой AB, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.
(смотреть решение →)
980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.
(смотреть решение →)
Тема: Использование уравнений окружности и прямой при решении задач
981 Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки B.
(смотреть решение →)
982 Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) АМ2+ВМ2+СМ2= 50; б) АМ2+2BМ2+3CM2=4.
(смотреть решение →)
983 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2+BM2=k2, где k — данное число.
(смотреть решение →)
984 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 - ВМ2=k, где k — данное число.
(смотреть решение →)
985 Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2-АМ2= 2AB2 .
(смотреть решение →)
986 Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
(смотреть решение →)
987* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
(смотреть решение →)
Тема: Дополнительные задачи
988 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) р = 2 а- b , q = а +хb; б) р = xа - b , q = а+хb; в) р = a + xb , q = а-2b; г) р = 2а + b, q=ха+ b.
(смотреть решение →)
989 Найдите координаты вектора р и его длину, если: а)р = 7а-3b, а{1;-1}, b{5;-2}; б)р = 4а-2b, а{6; 3}, b{5; 4}; в) р = 5 а-4 b , а{3/5;1/5}, b{6;-1}; г) р = 3(-2a-4b), а{1; 5}, b{-1; -1}.
(смотреть решение →)
990 Даны векторы а{3; 4}, b{6; -8}, с{1; 5}. а) Найдите координаты векторов р = а + b, q = b + с , r =2а- b + с , s = а- b - с . б) Найдите | а|, | b |, |р |, |q |.
(смотреть решение →)
991 Докажите, что расстояние между любыми двумя точками M1 (X1; 0) и М22; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |x1- x2|.
(смотреть решение →)
992 Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.
(смотреть решение →)
993 Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).
(смотреть решение →)
994 Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если: a) D(1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5); б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).
(смотреть решение →)
995 На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек М1(-2; 4) и М2 (6; 8).
(смотреть решение →)
996 Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника.
(смотреть решение →)
997 Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.
(смотреть решение →)
998 Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.
(смотреть решение →)
999 Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма по заданным координатам трех его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?
(смотреть решение →)
1000 Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (х - 1)2 + (у + 2)2 = 25; б) x2 + (у + 7)2 = 1; в) х2 + у2 + 8x - 4у + 40 = 0; г) х2 + у2- 2х + 4у - 20 = 0; д) х2 + у2 - 4х - 2у + 1 = 0.
(смотреть решение →)
1001 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (- 1; 2), если центр ее лежит на прямой у=х+2.
(смотреть решение →)
1002 Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) А ( 1; -4), В (4; 5), С (3; -2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).
(смотреть решение →)
1003 Вершины треугольника ABC имеют координаты А(-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
(смотреть решение →)
1004 Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3x-1,5y+1=0 и 2х-у-3=0, параллельны.
(смотреть решение →)
1005 Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если: а) А (-2; 0), В(3; 2½), С (6; 4); б) А(3; 10), В (3; 12), С (3; -6); в) А(1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).
(смотреть решение →)

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Тема: Синус; косинус и тангенс угла
1011 Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; ⅓ -⅓ 1⅔ -2,8? б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; у; -0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
(смотреть решение →)
1012 Проверьте, что точки М1(0; 1), M2(½;√3/2), M3(√2/2; √2/2), M4(-√3/2;½), А(1;0), В (-1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ.
(смотреть решение →)
1013 Найдите sin α, если: а) cos α =½; б) cos α =-⅔; в) cos α = -1.
(смотреть решение →)
1014 Найдите cos α, если: а) sin α =√3/2; б) sin α = ¼ в) sin α=0.
(смотреть решение →)
1015 Найдите tg α, если: a) cos α = 1; б) cos α = -√3/2 ; в) sin α=√2/2 и 0°<α<90°; г) sin α = 3/5 и 90°<α<180°.
(смотреть решение →)
1016 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.
(смотреть решение →)
1017 Постройте ∠А, если: a) sinA=⅔; б) cosA = ¾; в) cosA = -2/5.
(смотреть решение →)
1018 Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите координаты точки А, если: а) ОА=3, α=45°; б) ОА= 1,5, α=90°; в) ОА=5, α=150°; г) ОА=1, α=180°; д) ОА=2, α=30°.
(смотреть решение →)
1019 Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (0; 3); в) (- √3; 1); г) (-2√2 ; 2√2).
(смотреть решение →)
Тема: Соотношения в треугольнике
1020 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = = 6√8 см, АС=4 см, ∠А=60°; б) ВС=3 см, АВ = = 18√2 см, ∠B=45°; в) АС=14 см, СВ=7 см, ∠C=48°.
(смотреть решение →)
1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
(смотреть решение →)
1022 Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сторону АВ, если АС= 15 см, ∠A=30°.
(смотреть решение →)
1023 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
(смотреть решение →)
1024 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A=α, а высоты, проведенные из вершин B и С, соответственно равны hb и hс; б) ∠А=α, ∠B=β, а высота, проведенная из вершины В, равна h.
(смотреть решение →)
1025 С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:
(смотреть решение →)
1026 В треугольнике ABC АС = 12 см, ∠A= 75°, ∠C=60°. Найдите АВ и SABC
(смотреть решение →)
1027 Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A=45°, ∠C=30°, а высота AD равна 3 м.
(смотреть решение →)
1028 В параллелограмме ABCD AD=7⅓м, BD=4,4 м, ∠A=22°30'. Найдите ∠BDC и ∠DBC.
(смотреть решение →)
1029 Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
(смотреть решение →)
1030 Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
(смотреть решение →)
1031 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
(смотреть решение →)
1032 Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
(смотреть решение →)
1033 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
(смотреть решение →)
1034 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
(смотреть решение →)
1035 В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ=13 см, СЕ = 9 см, ED=4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.
(смотреть решение →)
1036 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?
(смотреть решение →)
1037 Для определения ширины реки отметили два пункта А и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠CAB= 12°30', ∠ABC=72°42'. Найдите ширину реки.
(смотреть решение →)
1038 На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины B башни под углом 60° к горизонту, а потом с ее основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.
(смотреть решение →)
Тема: Скалярное произведение векторов
1039 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС ; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
(смотреть решение →)
1040 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) АВ и DA; е) АВ и CD.
(смотреть решение →)
1041 Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если | а |=2, | b |=3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
(смотреть решение →)
1042 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ• АС ; б) АС • СВ; в) АС• BD; г) АС • АС
(смотреть решение →)
1043 К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причем |Р|=8, |Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
(смотреть решение →)
1044 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если: а) a(¼ -1}, b{2; 3}; б) а{-5; 6}, b{6; 5}, в) а {1,5; 2}, b{4; -0,5}.
(смотреть решение →)
1045 Докажите, что ненулевые векторы а {х; у) и b {-у; x} перпендикулярны.
(смотреть решение →)
1046 Докажите, что векторы i +j и i-j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.
(смотреть решение →)
1047 При каком значении х векторы а и b перпендикулярны, если: а) а{4; 5}, b {х; -6}; б) а {x; -1}, b{3; 2}; в) а{0; -3}, b{5; x}?
(смотреть решение →)
1048 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), B(-1; 5), С(3; 1).
(смотреть решение →)
1049 Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В(1;-√3 )иС(½; √3 ).
(смотреть решение →)
1050 Вычислите | а + b | и | а - b |, если | а | = 5, | b | = 8, аb = 60°.
(смотреть решение →)
1051 Известно, что а с =b с = 60°, | а | = 1, | 6 | = | с | = 2. Вычислите ( а + b ) • с .
(смотреть решение →)
1052 Вычислите скалярное произведение векторов р = а - b - с и q = а - b + с , если |а| = 5, |б| = 2, | с | = 4 и а ⊥ b .
(смотреть решение →)
1053 Вычислите скалярное произведение векторов а и b , если а= 3р - 2q и b = р + 4 q , где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.
(смотреть решение →)
Тема: Применение скалярного произведения векторов к решению задач
1054 Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
(смотреть решение →)
1055 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
(смотреть решение →)
1056 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
(смотреть решение →)
Тема: Дополнительные задачи
1057 В равнобедренном треугольнике ABC АВ=АС=b, ∠А = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
(смотреть решение →)
1058 Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°; б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠С = 120°.
(смотреть решение →)
1059 Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
(смотреть решение →)
1060 Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если:
(смотреть решение →)
1061 Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если:
(смотреть решение →)
1062 В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, EF=9,9 дм, DF=70 см. Найдите углы треугольника.
(смотреть решение →)
1063 Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если ∠A = α, АВ = с, АС = b.
(смотреть решение →)
1064 Чтобы определить расстояние между точками А и B, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и B. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите AB, если АС = b, СВ = а, ∠АСВ = α.
(смотреть решение →)
1065 Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), B (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
(смотреть решение →)
1066 Найдите длину вектора a=3i -4j , где i и j — координатные векторы.
(смотреть решение →)
1067 Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5р + 2q и b=p-3q , если |р| = 2√2 , | q | = 3 и p^q = 45°.
(смотреть решение →)
1068 При каком значении х векторы p=xa+17b и q = 3 а - b перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и a^b=120°?
(смотреть решение →)
1069 В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
(смотреть решение →)
1070 В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и ВС=8 см боковая сторона равна 4√7 см, a ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключенного внутри трапеции.
(смотреть решение →)
1071 В треугольнике ABC, площадь которого равна 3√3 , угол А острый, АВ = 4√3 , АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
(смотреть решение →)
1072 Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = а. Найдите площадь данного ромба.
(смотреть решение →)
1073 Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин: А(-1; 2), В( 1; -2), С (2; 0), D(1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите ее площадь.
(смотреть решение →)
1074 Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что
(смотреть решение →)
1075 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = АС, с = АВ. Докажите, что:
(смотреть решение →)
1076 В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
(смотреть решение →)
1077 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
(смотреть решение →)

Длина окружности и площадь круга

Тема: Правильные многоугольники
1078 Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.
(смотреть решение →)
1079 Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырехугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.
(смотреть решение →)
1080 Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом.
(смотреть решение →)
1081 Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n=3; б) n = 5; в) n=6; г) n = 10; д) n = 18.
(смотреть решение →)
1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
(смотреть решение →)
1083 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?
(смотреть решение →)
1084 Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
(смотреть решение →)
1085 Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.
(смотреть решение →)
1086 Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
(смотреть решение →)
1087 На рисунке 311, а изображен квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).
(смотреть решение →)
1088 На рисунке 311, б изображен правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).
(смотреть решение →)
1089 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
(смотреть решение →)
1090 Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
(смотреть решение →)
1091 Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.
(смотреть решение →)
1092 Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.
(смотреть решение →)
1093 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R=2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
(смотреть решение →)
1094 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R=3√2 см; б) n = 3, Р = 24 см; в) n = 6, r=9 см; г) n=8, r=5√3 см.
(смотреть решение →)
1095 Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, верхнее основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь верхнего основания.
(смотреть решение →)
1096 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.
(смотреть решение →)
1097 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около нее.
(смотреть решение →)
1098 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.
(смотреть решение →)
1099 Правильный восьмиугольник А1А2...А8 вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырехугольник A3A4A7A8 является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
(смотреть решение →)
1100 С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
(смотреть решение →)
Тема: Длина окружности и площадь круга
1101 Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окружности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
(смотреть решение →)
1102 Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?
(смотреть решение →)
1103 Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
(смотреть решение →)
1104 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной 6; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом а между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см2.
(смотреть решение →)
1105 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведенной к основанию.
(смотреть решение →)
1106 Автомобиль прошел 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.
(смотреть решение →)
1107 Метр составляет приближенно 1/40 000 000 часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах считая, что Земля имеет форму шара.
(смотреть решение →)
1108 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
(смотреть решение →)
1109 Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.
(смотреть решение →)
1110 Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет? колесо?
(смотреть решение →)
1111 Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищенной его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищенной части камня.
(смотреть решение →)
1112 Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.
(смотреть решение →)
1113 Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?
(смотреть решение →)
1114 Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
(смотреть решение →)
1115 Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
(смотреть решение →)
1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой Л, проведенной к основанию.
(смотреть решение →)
1117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.
(смотреть решение →)
1118 Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.
(смотреть решение →)
1119 Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.
(смотреть решение →)
1120 Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, R1<R2. Вычислите площадь кольца, если R1=1,5 см, R2= 2,5 см.
(смотреть решение →)
1121 Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
(смотреть решение →)
1122 Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
(смотреть решение →)
1123 Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.
(смотреть решение →)
1124 На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени.
(смотреть решение →)
1125 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
(смотреть решение →)
1126 Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.
(смотреть решение →)
1127 Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.
(смотреть решение →)
1128 Сторона квадрата на рисунке 317 равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.
(смотреть решение →)
Тема: Дополнительные задачи
1129 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?
(смотреть решение →)
1130 На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
(смотреть решение →)
1131 Найдите периметр правильного шестиугольника A1A2A3A4A5A6, если A1A4 =2,24 см.
(смотреть решение →)
1132 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.
(смотреть решение →)
1133 Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2 r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
(смотреть решение →)
1134 Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: а) А2А7 = 2R; б) А1А2В и ВА4O — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А41А2 = R.
(смотреть решение →)
1135 В круг, площадь которого равна 36π см2, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.
(смотреть решение →)
1136 Квадрат А1А2А3А4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что A1B1=A2B2=A3B3=A4B4=A1C1=A2C2= A3C3 = A4C4= R. Докажите, что восьмиугольник B1C3B2C4B3C1B4C2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.
(смотреть решение →)
1137 За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?
(смотреть решение →)
1138 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а и острый угол равен α.
(смотреть решение →)
1139 Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.
(смотреть решение →)
1140 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.
(смотреть решение →)
1141 Фигура ограничена большими дугами двух окружно-стей, опирающимися на общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.
(смотреть решение →)
1142 Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.
(смотреть решение →)
1143 Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 63). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи на построение
1144* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
(смотреть решение →)
1145* Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.
(смотреть решение →)
1146 Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.
(смотреть решение →)
1147 Около данной окружности опишите: а) правильный четырехугольник; б) правильный восьмиугольник.
(смотреть решение →)

Движения

Тема: Понятие движения
1148 Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии; б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.
(смотреть решение →)
1149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
(смотреть решение →)
1150 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.
(смотреть решение →)
1151 Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.
(смотреть решение →)
1152 Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
(смотреть решение →)
1153 Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.
(смотреть решение →)
1154 Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
(смотреть решение →)
1155 ABC и А1В1С1 — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки A1 ,B1, C1.
(смотреть решение →)
1156 В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, AС=A1С1, ВС=В1С1. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки A1, В1 и C1, притом только одно.
(смотреть решение →)
1157 Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.
(смотреть решение →)
1158 Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.
(смотреть решение →)
1159 Даны прямая а и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?
(смотреть решение →)
1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.
(смотреть решение →)
1161 Даны точка О и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?
(смотреть решение →)
Тема: Параллельный перенос и поворот
1162 Начертите отрезок AB и вектор MM1. Постройте отрезок A1B1, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор MM1.
(смотреть решение →)
1163 Начертите треугольник ABC, вектор ММ1, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне АС. Постройте треугольник A1B1C1, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ1; б) на вектор а .
(смотреть решение →)
1164 Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием АС и точка D на прямой АС, такая, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B1D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырехугольник ABB1D — равнобедренная трапеция.
(смотреть решение →)
1165 Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а.
(смотреть решение →)
1166 Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.
(смотреть решение →)
1167 Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.
(смотреть решение →)
1168 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
(смотреть решение →)
1169 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.
(смотреть решение →)
1170 Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают.
(смотреть решение →)
1171 Постройте прямую a1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.
(смотреть решение →)
Тема: Дополнительные задачи
1172 При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.
(смотреть решение →)
1173 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.
(смотреть решение →)
1174 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
(смотреть решение →)
1175 Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX+XN имеет наименьшее значение.
(смотреть решение →)
1176 Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.
(смотреть решение →)
1177 В треугольнике ABC медианы AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔA1B1C1= ΔА2B2С2.
(смотреть решение →)
1178 На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.
(смотреть решение →)
1179* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS, СС1 ⊥ AS, DD1 ⊥ BS, как показано на рисунке 333. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны .
(смотреть решение →)
1180 В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника ABC и A1B1C1, причем вершины обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А1В1С1 от точки А1 к точке C1. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые AA1, ВВ1 и СС1 либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
(смотреть решение →)
1181 Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.
(смотреть решение →)
1182 Используя параллельный перенос, постройте трапецию по ее основаниям и диагоналям.
(смотреть решение →)
1183 Даны две параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет задача?
(смотреть решение →)

Начальные сведения из стереометрии

Тема: Многогранники
1184 Сколько граней, ребер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?
(смотреть решение →)
1185 Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
(смотреть решение →)
1186 Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
(смотреть решение →)
1187 Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней — острые; г) все углы граней — прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?
(смотреть решение →)
1188 На трех ребрах параллелепипеда даны точки А, B и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.
(смотреть решение →)
11891 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью: а) АВС1; б)АСС1. Докажите, что построенные сечения — параллелограммы.
(смотреть решение →)
1190 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ1 и СС1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью A1B1C1.
(смотреть решение →)
1191 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
(смотреть решение →)
1192 Изобразите параллелепипед ABCDAiB1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АA1, AD; б) CC1, AD, BB1.
(смотреть решение →)
1193 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39 , 7, 9.
(смотреть решение →)
1194 Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба.
(смотреть решение →)
1195 Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V1 и V2. Выразите объем V тела R через V1 и V2, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен ⅓V1.
(смотреть решение →)
1196 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.
(смотреть решение →)
1197 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АС1= 13 см, BD = 12 см и ВС1=11 см.
(смотреть решение →)
1198 Докажите, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
(смотреть решение →)
1199 Найдите объем прямой призмы АВСА1В1C1, если ∠BAC = 120°, АВ = 5 см, АС=3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2.
(смотреть решение →)
1200 Найдите объем правильной n-угольной призмы, все ребра которой равны а, если: а) n=3; б) n = 4; в) n=6; г) n=8.
(смотреть решение →)
1201 Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?
(смотреть решение →)
1202 Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.
(смотреть решение →)
1203 Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN.
(смотреть решение →)
1204 Изобразите тетраэдр DABC отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
(смотреть решение →)
1205 Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
(смотреть решение →)
1206 Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей ее боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.
(смотреть решение →)
1207 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
(смотреть решение →)
1208 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
(смотреть решение →)
1209* Через точку Н1 высоты PH пирамиды РА1A2...An проведена секущая плоскость β, параллельная плоскости α ее основания. Докажите, что площадь полученного сечения равна
(смотреть решение →)
1210 Докажите, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
(смотреть решение →)
1211 Найдите объем пирамиды с высотой h, если: а) h=2 м, а основанием является квадрат со стороной 3 м; б) h=2,2 м, а основанием является треугольник ABC, в котором АВ=20 см, BC= 13,5 см, ∠АВС=30°.
(смотреть решение →)
1212 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна т, а плоский угол при вершине равен а.
(смотреть решение →)
Тема: Тела и поверхности вращения
1213 Докажите, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
(смотреть решение →)
1214 Пусть V, r и h — соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если r = 2√2 см, h = 3 см; б) r, если V=120 см3, h = 3,6 см; в) h, если r=h, V= 8π см3.
(смотреть решение →)
1215 В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) n=3; б) n=4; в) n = 6; г) n= 8; г) n — произвольное натуральное число.
(смотреть решение →)
1216 Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
(смотреть решение →)
1217 Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
(смотреть решение →)
1218 Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС=b.
(смотреть решение →)
1219* Докажите, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
(смотреть решение →)
1220 Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V=48π см3; в) r, если h = m, V=p.
(смотреть решение →)
1221 Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.
(смотреть решение →)
1222 Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм2. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объем конуса.
(смотреть решение →)
1223 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
(смотреть решение →)
1224* Докажите, что объем шара радиуса R равен 4/3πR3.
(смотреть решение →)
1225 Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.
(смотреть решение →)
1226 Пусть V — объем шара радиуса R, S — площадь его поверхности. Найдите: a) S и V, если R=4 см; б) R и S, если V= 113,04 см3; в) R и V, если S = 64π см2.
(смотреть решение →)
1227 Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
(смотреть решение →)
1228 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
(смотреть решение →)
1229 Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?
(смотреть решение →)
1230 Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
(смотреть решение →)
1231 Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
(смотреть решение →)
Тема: Дополнительные задачи
1232 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.
(смотреть решение →)
1233 Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
(смотреть решение →)
1234 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1 и DCB1 а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются; б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D).
(смотреть решение →)
1235 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра AA1 , a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
(смотреть решение →)
1236 Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.
(смотреть решение →)
1237 Найдите объем куба ABCDA1B1C1D1, если: а) АС =12 см; б) АС = 3√2 ; в) DE=1 см, где Е — середина ребра АВ.
(смотреть решение →)
1238 Найдите объем прямой призмы АВСА1B1С1, если AB=BC=m, ∠ABC=φ и BB1=BD, где BD — высота треугольника ABC.
(смотреть решение →)
1239 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.
(смотреть решение →)
1240 Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
(смотреть решение →)
1241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех ее граней.
(смотреть решение →)
1242 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
(смотреть решение →)
1243 В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.
(смотреть решение →)
1244 Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см3).
(смотреть решение →)
1245 Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?
(смотреть решение →)
1246 Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
(смотреть решение →)
1247 Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь ос-нования цилиндра.
(смотреть решение →)
1248 Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем этого конуса, если объем отсекаемого от него конуса равен 24 см3.
(смотреть решение →)
1249 Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см3. Найдите дугу развертки боковой поверхности этого конуса.
(смотреть решение →)
1250 Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.
(смотреть решение →)
1251 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении.
(смотреть решение →)
1252 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
(смотреть решение →)
1253 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
(смотреть решение →)
1254 Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша (радиус Земли считать равным 6375 км)?
(смотреть решение →)
1255 В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2 : n2?
(смотреть решение →)

Задачи повышенной трудности

Тема: Задачи к главе 10
1256 Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3) и D (х4; y4). Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда х1+ х3= х2+ х4 и y1+ y3=y2+y4.
(смотреть решение →)
1257 Даны две точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении λ (т. е. AC/CB = λ), выражаются формулами
(смотреть решение →)
1258 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты ее вершин равны: (x1; y1), (х2; у2), (х3; у3).
(смотреть решение →)
1259 Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-3; 0), В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону и ВС в точке D. Найдите координаты точки D.
(смотреть решение →)
1260 В треугольнике ABC АС=9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
(смотреть решение →)
1261 Найдите координаты центра тяжести системы трех масс m1, m2 и m3, сосредоточенных соответственно в точках А1 (x1; y1), А22; у2), А33; у3).
(смотреть решение →)
1262 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма ее расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А(2; 3), В (4; -5); б) А (-2; 4), B (3; 1).
(смотреть решение →)
1263 Докажите, что: а) уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В одновременно не равны нулю, является уравнением прямой; б) уравнение х2-ху- 2 = 0 не является уравнением окружности.
(смотреть решение →)
1264 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x— 1)2+(y— 2)2=4 и х22= 1, и вычислите длину их общей хорды.
(смотреть решение →)
1265 Даны три точки А, B, С и три числа а, р, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма αAM2 + βВМ2 + γСМ2 имеет постоянное значение, если:
(смотреть решение →)
1266 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки М1 прямой а на луче АМ1 взята точка М, такая, что АМ1• AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
(смотреть решение →)
1267 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки М1 окружности на луче ОМ1 взята точка М, такая, что ОМ = k • ОМ1, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
(смотреть решение →)
1268 Пусть А и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию АМ=kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и B, так, что их радиусы, проведенные в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 11
1269 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA =½MN, QB = ⅓MN (рис. 369). Докажите, что ∠АМВ = 45°.
(смотреть решение →)
1270 В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.
(смотреть решение →)
1271 Докажите, что площадь S произвольного четырехугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству
(смотреть решение →)
1272 Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса АА1 вычисляется по формуле
(смотреть решение →)
1273 Выразите диагонали вписанного в окружность четырехугольника через его стороны.
(смотреть решение →)
1274 Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле
(смотреть решение →)
1275 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
(смотреть решение →)
1276 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е - середина отрезка CD, угол СВЕ равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.
(смотреть решение →)
1277 В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен β, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.
(смотреть решение →)
1278 В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника ABC.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 12
1279 На рисунке 370 изображен правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла OAB. Докажите, что:
(смотреть решение →)
1280 Докажите, что отрезок АК, изображенный на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.
(смотреть решение →)
1281 Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A1A2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.
(смотреть решение →)
1282* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
(смотреть решение →)
1283 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
(смотреть решение →)
1284 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
(смотреть решение →)
1285 Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
(смотреть решение →)
1286 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
(смотреть решение →)
1287 Пусть ABCD — квадрат, а А1В1С1 - правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма AB+А1B1 равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.
(смотреть решение →)
1288 По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.
(смотреть решение →)
1289 На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причем AC=DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.
(смотреть решение →)
1290 Построить границу круга, площадь которого равна: а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 13
1291 При данном движении g точка А отображается в точку B, а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная симметрия или осевая симметрия.
(смотреть решение →)
1292 Даны два равных отрезка АВ и A1B1. Докажите, что существуют два и только два движения, при которых точки А и B отображаются соответственно в точки А1 и B1.
(смотреть решение →)
1293 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
(смотреть решение →)
1294 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и боковым сторонам другой.
(смотреть решение →)
1295 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
(смотреть решение →)
1296 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
(смотреть решение →)
1297 Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведенная из третьей вершины, — на данной прямой.
(смотреть решение →)
1298 На стороне угла АОВ, с недоступной вершиной, дана точка М. Постройте отрезок, равный отрезку ОМ.
(смотреть решение →)
1299 Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей.
(смотреть решение →)
1300 Постройте треугольник по трем медианам.
(смотреть решение →)
1301 Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам.
(смотреть решение →)
1302 Даны точки А и B и две пересекающиеся прямые с и d. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D лежали соответственно на прямых c и d.
(смотреть решение →)
1303 Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина B лежала на данной прямой, а вершина D — на данной окружности.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 14
1304 Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
(смотреть решение →)
1305 Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.
(смотреть решение →)
1306 Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от него вершин куба. Как должен двигаться паук?
(смотреть решение →)
1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
(смотреть решение →)
1308 Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму АВСА1В1С1 на четыре части. Найдите объемы этих частей, если объем призмы равен V.
(смотреть решение →)
1309 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.
(смотреть решение →)
1310 Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а и плоским углом а при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела.
(смотреть решение →)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн