Решебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, 7 класс (Геометрия)

Скачать на нашем сайте решебник не получится, он доступен только для просмотра онлайн
Смотреть решебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина 7 класс

Разделы решебника:

Начальные геометрические сведения

Тема: Прямая и отрезок
Тема: Луч и угол
Тема: Сравнение отрезков и углов
Тема: Измерение отрезков
Тема: Измерение углов
Тема: Перпендикуляр. Прямые

Треугольники

Тема: Первый признак равенства треугольников
Тема: Медианы; биссектрисы и высоты треугольника
Тема: Второй и третий признаки равенства треугольников
Тема: Задачи на построение

Параллельные прямые

Тема: Признаки параллельности двух прямых
Тема: Аксиома параллельных прямых

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Тема: Сумма углов треугольника
Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника
Тема: Прямоугольные треугольники
Тема: Построение треугольника по трем элементам

Задачи повышенной трудности

Тема: Задачи к главе 1
Тема: Задачи к главе 2
Тема: Задачи к главе 3 и 4
Тема: Задачи на построение

Список всех задач из учебника:

Начальные геометрические сведения

Тема: Прямая и отрезок
1 Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы ∈ и ∉.
(смотреть решение →)
2 Отметьте три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые AB, BC и CA.
(смотреть решение →)
3 Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
(смотреть решение →)
4 Отметьте точки A, B, C, D так, чтобы точки A, B, C лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
(смотреть решение →)
5 Проведите прямую а и отметьте на ней точки A и B. Отметьте: а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ; в) точки R и S, не лежащие на прямой а.
(смотреть решение →)
6 Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
(смотреть решение →)
7 На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка B.
(смотреть решение →)
Тема: Луч и угол
8 Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА.
(смотреть решение →)
9 Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M.
(смотреть решение →)
10 Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.
(смотреть решение →)
11 Начертите три луча h, k и I с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
(смотреть решение →)
12 Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.
(смотреть решение →)
13 Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, М и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
(смотреть решение →)
14 Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
(смотреть решение →)
15 Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?
(смотреть решение →)
16 Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла?
(смотреть решение →)
17 Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла?
(смотреть решение →)
Тема: Сравнение отрезков и углов
18 На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки OB и ОА, ОС и OA, OB и OC.
(смотреть решение →)
19 Точка О является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и OB; б) ОА и AB?
(смотреть решение →)
20 На рисунке 25 отрезки AB, BC, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков AC, AE и CE; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С.
(смотреть решение →)
21 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.
(смотреть решение →)
22 Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и Ik; б) hl и hk?
(смотреть решение →)
23 На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС.
(смотреть решение →)
Тема: Измерение отрезков
24 Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.
(смотреть решение →)
25 Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.
(смотреть решение →)
26 Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
(смотреть решение →)
27 Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2AB, ½AB и ¼AB.
(смотреть решение →)
28 Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B. С помощью масштабной линейки отметьте точки C и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС.
(смотреть решение →)
29 Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?
(смотреть решение →)
30 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.
(смотреть решение →)
31 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) AB = 4 мм, АС = 4 см.
(смотреть решение →)
32 Точки А, B и С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 12 см, BC= 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
(смотреть решение →)
33 Точки B, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние BM?
(смотреть решение →)
34 Точка С — середина отрезка AB, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что CD=15см. Найдите длины отрезков BD и DA.
(смотреть решение →)
35 Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
(смотреть решение →)
36 Лежат ли точки А, B и С на одной прямой, если АС=5 см, AB = 3 см, BC=4 см?
(смотреть решение →)
37 Точка С — середина отрезка AB, точка О — середина отрезка АС. а) Найдите АС, СB, АО и ОB, если AB = 2 см; б) найдите AB, АС, АО и ОB, если СB = 3,2 м.
(смотреть решение →)
38 На прямой отмечены точки О, А и B так, что ОА= 12 см, ОB = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОB, если точка О: а) лежит на отрезке AB; б) не лежит на отрезке AB.
(смотреть решение →)
39 Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
(смотреть решение →)
40 Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
(смотреть решение →)
Тема: Измерение углов
41 Начертите три неразвернутых угла и один развернутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.
(смотреть решение →)
42 Начертите луч ОА и с помощью транспортира отложите от луча ОА углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC = 67°, ∠AOD = 138°.
(смотреть решение →)
43 Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.
(смотреть решение →)
44 Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?
(смотреть решение →)
45 Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
(смотреть решение →)
46 На рисунке 37 изображены лучи с общим началом О. а) Найдите градусные меры углов АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX; б) назовите углы, равные 20°; в) назовите равные углы; г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры.
(смотреть решение →)
47 Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла. Найдите ∠AOB, если: a) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°; б) ∠AOE = 12°37', ∠EOB = 108°25'.
(смотреть решение →)
48 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла BОС.
(смотреть решение →)
49 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, а угол АОС на 15° больше угла СОB.
(смотреть решение →)
50 Угол АОВ является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC= 108°, ∠AOB = 3∠BOC. Найдите угол АОВ.
(смотреть решение →)
51 На рисунке 38 угол AOD— прямой, ∠AOB = = ∠BOC = Z∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОВ и COD.
(смотреть решение →)
52 На рисунке 39 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ∠UOV = 80°.
(смотреть решение →)
53 Луч I является биссектрисой неразвернутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?
(смотреть решение →)
Тема: Перпендикуляр. Прямые
54 Начертите острый угол АОВ и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы АОВ и AOD.
(смотреть решение →)
55 Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.
(смотреть решение →)
56 Начертите неразвернутый угол hk. Постройте угол h1k1 так, чтобы углы hk и h1k1 были вертикальными.
(смотреть решение →)
57 Начертите неразвернутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q — вне его. С помощью чертежного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым ОМ и ON.
(смотреть решение →)
58 Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC= 15°.
(смотреть решение →)
59 Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?
(смотреть решение →)
60 Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?
(смотреть решение →)
61 Найдите смежные углы hk и kl, если: a) ∠hk меньше ∠kl на 40°; б) ∠hk больше ∠kl на 120°; в) ∠hk больше ∠kl на 47°18'; г) ∠hk = 3∠kl; д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.
(смотреть решение →)
62 На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°.
(смотреть решение →)
63 Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
(смотреть решение →)
64 Найдите изображенные на рисунке 41 углы: а) 1, 3, 4, если ∠2 = 117°; б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27'.
(смотреть решение →)
65 Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трех углов равна 220°.
(смотреть решение →)
66 На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) ∠2 +∠4 = 220°; б) 3(∠1 +∠3) = ∠2 +∠4; в) ∠2-∠1 = 30°.
(смотреть решение →)
67 На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: ∠1+∠2+∠3.
(смотреть решение →)
68 На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD.
(смотреть решение →)
69 Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?
(смотреть решение →)
70 Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
(смотреть решение →)
71 Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?
(смотреть решение →)
72 Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?
(смотреть решение →)
73 Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?
(смотреть решение →)
74 Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и M в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками N и М.
(смотреть решение →)
75 Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM= 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
(смотреть решение →)
76 Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB.
(смотреть решение →)
77 Отрезок длины т разделен: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей.
(смотреть решение →)
78 Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
(смотреть решение →)
79* Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN.
(смотреть решение →)
80 Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира.
(смотреть решение →)
81 Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
(смотреть решение →)
82 Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°.
(смотреть решение →)
83 Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
(смотреть решение →)
84 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
85* Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
86 Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.
(смотреть решение →)

Треугольники

Тема: Первый признак равенства треугольников
87 Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.
(смотреть решение →)
88 Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите: а) стороны, лежащие против углов D, Е, F; б) углы, лежащие против сторон DE, EF, FD); в) углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD.
(смотреть решение →)
89 С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC, в котором: а) AB = 4,3 см, АС = 2,3 см, ∠A=23°; б) BC = 9 см, BA=6,2см, ∠B = 122°; в) СА = 3см, СB = 4см, ∠C = 90°.
(смотреть решение →)
90 Сторона AB треугольника ABC равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника ABC.
(смотреть решение →)
91 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.
(смотреть решение →)
92 Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?
(смотреть решение →)
93 Отрезки AB и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E= 42°.
(смотреть решение →)
94 На рисунке 52 AB=АС, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если АС = 15 см, DC = 5 см.
(смотреть решение →)
95 На рисунке 53 BC=AD, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABC и CDA равны; б) найдите AB и BC, если AD =17 см, DC = 14 см.
(смотреть решение →)
96 На рисунке 54 OA = OD, OB = ОС, ∠1=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите ∠ACD.
(смотреть решение →)
97 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.
(смотреть решение →)
98 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = А1В1, АС = А1С1, ∠A=∠A1 На сторонах AB и A1B1 отмечены точки Р и Р1 так, что АР =А1Р1. Докажите, что ΔВРС = ΔВ1Р1С1.
(смотреть решение →)
99 На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причем AC =AD и АВ =АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.
(смотреть решение →)
Тема: Медианы; биссектрисы и высоты треугольника
100 Начертите прямую а и отметьте точки А и B, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертежного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
(смотреть решение →)
101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.
(смотреть решение →)
102 Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
(смотреть решение →)
103 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника.
(смотреть решение →)
104 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.
(смотреть решение →)
105 Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны, а) Докажите, что ∠ABD=∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.
(смотреть решение →)
106 Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что ΔABD = ΔECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.
(смотреть решение →)
107 В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
(смотреть решение →)
108 Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.
(смотреть решение →)
109 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
(смотреть решение →)
110 Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
(смотреть решение →)
111 На рисунке 65 CD = BD, ∠1=∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
(смотреть решение →)
112 На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1=130°. Найдите ∠2.
(смотреть решение →)
113 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.
(смотреть решение →)
114 Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.
(смотреть решение →)
115 Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.
(смотреть решение →)
116 Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
(смотреть решение →)
117 На рисунке 67 АВ = BC, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.
(смотреть решение →)
118 На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что BM=CN. Докажите, что: а) ΔВАМ = ΔCAN; б) треугольник AMN равнобедренный.
(смотреть решение →)
119 В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса, ∠DEF= 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.
(смотреть решение →)
120 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F так, что АЕ=CF. Докажите, что: a) ΔBDE = ΔBDF; б) ΔADE=ΔCDF.
(смотреть решение →)
Тема: Второй и третий признаки равенства треугольников
121 Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО=ΔDAO; б) найдите ВС и СО, если CD=26 см, AD= 15 см.
(смотреть решение →)
122 На рисунке 53 (с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что ΔАВС=ΔCDА; б) найдите АВ и ВС, если AD= 19 см, CD=11 см.
(смотреть решение →)
123 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла— точки В и С такие, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что BD=CD.
(смотреть решение →)
124 По данным рисунка 73 докажите, что ОР=OT, ∠P=∠T.
(смотреть решение →)
125 На рисунке 74 ∠DAC=∠DBC, АО =ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD.
(смотреть решение →)
126 На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 см. Найдите BD.
(смотреть решение →)
127 В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1. На сторонах АВ и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что ΔBCD = ΔB1C1D1.
(смотреть решение →)
128 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.
(смотреть решение →)
129 Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА=ΔDОС.
(смотреть решение →)
130 В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1. Докажите, что: а) ΔАСO=ΔА1С1O1; б) ΔВСO=ΔВ1С1O1.
(смотреть решение →)
131 В треугольниках DEF и MN PEF=NP, DF=MP и ∠F=∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N в точке К. Докажите, что ∠DOE=∠MKN.
(смотреть решение →)
132 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.
(смотреть решение →)
133 Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный.
(смотреть решение →)
134 Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
(смотреть решение →)
135 Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
(смотреть решение →)
136 На рисунке 52 (с. 31) АВ =AC, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.
(смотреть решение →)
137 На рисунке 53 (с. 31) BC=AD, AB = CD. Докажите, что ∠B=∠D.
(смотреть решение →)
138 На рисунке 75 AB = CD и BD=AC. Докажите, что: a) ∠CAD=∠ADB; б) ∠BAC=∠CDB.
(смотреть решение →)
139 На рисунке 76 АВ = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔABE=ΔCDF.
(смотреть решение →)
140 В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABC =ΔA1B1C1.
(смотреть решение →)
141 В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, АВ=А1В1, BD = B1D1 и AD=A1D1. Докажите, что ΔABC=ΔA1B1C1 .
(смотреть решение →)
142 Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB=∠ACB; б) DO = ОС.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи на построение
143 Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?
(смотреть решение →)
144 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD =∠BCD.
(смотреть решение →)
145 Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите ∠POM.
(смотреть решение →)
146 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.
(смотреть решение →)
147 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.
(смотреть решение →)
148 На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС= 2АВ.
(смотреть решение →)
149 Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой a так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
(смотреть решение →)
150 Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
(смотреть решение →)
151 Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.
(смотреть решение →)
152 Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.
(смотреть решение →)
153 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.
(смотреть решение →)
154 Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.
(смотреть решение →)
155 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'.
(смотреть решение →)
156 Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона AB меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.
(смотреть решение →)
157 В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.
(смотреть решение →)
158 Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.
(смотреть решение →)
159 Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.
(смотреть решение →)
160 Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а.
(смотреть решение →)
161 В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, что ΔABC=ΔA1B1C1.
(смотреть решение →)
162 На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD=CE, то ∠CAD=∠BAE и AB=АС; б) если ∠CAD=∠BAE, то BD = CE и AB=АС.
(смотреть решение →)
163 Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.
(смотреть решение →)
164 На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.
(смотреть решение →)
165 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = BK1. Докажите, что: а) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1.
(смотреть решение →)
166 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.
(смотреть решение →)
167 Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.
(смотреть решение →)
168 В треугольнике ABC ∠A= 38°, ∠B= 110°, ∠C=32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ=ЕС. Найдите угол DBE.
(смотреть решение →)
169 На рисунке 95 OC=OD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче.
(смотреть решение →)
170 Докажите, что треугольники ABC и А1B1С1 равны, если АВ =А1В1, ∠A=∠A1, AD =A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.
(смотреть решение →)
171 В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC=∠OCA. Докажите, что треугольники АВО и СDO равны.
(смотреть решение →)
172 На рисунке 96 AC=AD, AB⊥CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.
(смотреть решение →)
173* Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.
(смотреть решение →)
174* Докажите, что ΔАВС=ΔА1В1С1, если ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, BC=B1C1.
(смотреть решение →)
175* На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
(смотреть решение →)
176* Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1, где AM и А1М1 — медианы треугольников.
(смотреть решение →)
177* Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ=А1В1, АС=А1С1, ∠A=∠A1. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В1С1 треугольника А1В1С1 — точки К1 и L1 так, что AK=A1K1, LC=L1C1. Докажите, что: a) KL=K1L1; б) AL=A1L1.
(смотреть решение →)
178* Даны три точки А, B, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.
(смотреть решение →)
179* На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB=∠QXC, где X— середина основания ВС. Докажите, что BQ=CP.
(смотреть решение →)
180 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.
(смотреть решение →)
181 Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
(смотреть решение →)
182 Даны прямая а, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC=PQ.
(смотреть решение →)
183 Даны окружность, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC=PQ.
(смотреть решение →)
184 На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равноудаленную от вершин А и С.
(смотреть решение →)
185 С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.
(смотреть решение →)

Параллельные прямые

Тема: Признаки параллельности двух прямых
186 На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°, ∠7=143°; б) ∠1=∠6; в) ∠1=45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.
(смотреть решение →)
187 По данным рисунка 107 докажите, что AB||DE.
(смотреть решение →)
188 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
(смотреть решение →)
189 Используя данные рисунка 108, докажите, что BC||AD.
(смотреть решение →)
190 На рисунке 109 АВ=BC, AD=DE, ∠C=70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE||АС.
(смотреть решение →)
191 Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ=МК. Докажите, что КМ||АВ.
(смотреть решение →)
192 В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.
(смотреть решение →)
193 В треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B=70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что AC||BD.
(смотреть решение →)
194 Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.
(смотреть решение →)
195 Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.
(смотреть решение →)
Тема: Аксиома параллельных прямых
196 Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
(смотреть решение →)
197 Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
(смотреть решение →)
198 Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
(смотреть решение →)
199 Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
(смотреть решение →)
200 На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
(смотреть решение →)
201 Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
202 На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
(смотреть решение →)
203 Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
(смотреть решение →)
204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что CO = OD.
(смотреть решение →)
205 По данным рисунка 117 найдите ∠1.
(смотреть решение →)
206 Угол ABC равен 70°, а угол BCD равен 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
(смотреть решение →)
207 Ответьте на вопросы задачи 206, если ∠ABC =65°, a ∠BCD=105°.
(смотреть решение →)
208 Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
(смотреть решение →)
209 На рисунке 118 a||b, c||d, ∠4=45°. Найдите углы 1, 2 и 3.
(смотреть решение →)
210 Два тела Р1 и Р2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 119). Третье тело Р3 подвешено на той же нити в точке С и уравновешивает тела Р1 и Р2. (При этом АР1||BР2||СР3.) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP1+∠CBP2.
(смотреть решение →)
211 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
(смотреть решение →)
212 Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
(смотреть решение →)
213 На рисунке 121 CE=ED, BE=EF и КЕ||AD. Докажите, что KE||BC.
(смотреть решение →)
214 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MDII АВ.
(смотреть решение →)
215 По данным рисунка 122 найдите угол 1.
(смотреть решение →)
216 На рисунке 123 DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.
(смотреть решение →)
217 Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.
(смотреть решение →)
218 Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.
(смотреть решение →)
219* Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.
(смотреть решение →)
220 Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.
(смотреть решение →)
221 Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
222 Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а.
(смотреть решение →)

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Тема: Сумма углов треугольника
223 Найдите угол С треугольника ABC, если: a) ∠A=65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B= 130°; в) ∠A=α, ∠B=2α; г) ∠A = 60°+α, ∠B = 60°-α.
(смотреть решение →)
224 Найдите углы треугольника ABC, если ∠A:∠B:∠C= 2:3:4.
(смотреть решение →)
225 Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
(смотреть решение →)
226 Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.
(смотреть решение →)
227 Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
(смотреть решение →)
228 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
(смотреть решение →)
229 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C= 50°.
(смотреть решение →)
230 Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A= 58°, ∠B = 96°.
(смотреть решение →)
231 Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
(смотреть решение →)
232 Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
(смотреть решение →)
233 Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
(смотреть решение →)
234 Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
(смотреть решение →)
235 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.
(смотреть решение →)
Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника
236 Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ>ВС>АС; б) АВ=АС < ВС.
(смотреть решение →)
237 Сравните стороны треугольника ABC, если: a) ∠A>∠B>∠C; б) ∠A>∠B=∠C.
(смотреть решение →)
238 Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
(смотреть решение →)
239 Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.
(смотреть решение →)
240 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.
(смотреть решение →)
241 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
(смотреть решение →)
242 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
(смотреть решение →)
243 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC=AD.
(смотреть решение →)
244 Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону AB в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный.
(смотреть решение →)
245 Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны AB и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN =ВМ + CN.
(смотреть решение →)
246 На рисунке 129 лучи ВО и СО— биссектрисы углов B и С треугольника ABC, ОЕ||AB, OD||AC. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка ВС.
(смотреть решение →)
247 На рисунке 130 AB=АС, AP=AQ. Докажите, что: а) треугольник BОС — равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
(смотреть решение →)
248 Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
(смотреть решение →)
249 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?
(смотреть решение →)
250 Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
(смотреть решение →)
251 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
(смотреть решение →)
252 Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
(смотреть решение →)
253 Периметр равнобедренного треугольника равен 25см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.
(смотреть решение →)
Тема: Прямоугольные треугольники
254 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
(смотреть решение →)
255 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.
(смотреть решение →)
256 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
(смотреть решение →)
257 В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+AB=18 см. Найдите АС и АВ.
(смотреть решение →)
258 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если AB = 12 см.
(смотреть решение →)
259 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.
(смотреть решение →)
260 Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
(смотреть решение →)
261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.
(смотреть решение →)
262 В треугольниках ABC и А1В1С1 углы А и А1 — прямые, BD и В1D1— биссектрисы. Докажите, что ΔАВС=ΔА1В1С1, если ∠B=∠B1 и BD=B1D1
(смотреть решение →)
263 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC= 140°.
(смотреть решение →)
264 Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A= 55°, ∠B = 67°.
(смотреть решение →)
265 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.
(смотреть решение →)
266 На сторонах угла О отмечены точки А и B так, что ОА=ОB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
(смотреть решение →)
267 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.
(смотреть решение →)
268 Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
(смотреть решение →)
269 Докажите, что ΔАВС=ΔА1B1С1, если ∠A=∠A1, ∠B=∠B1 и ВН=В1Н1, где ВН и В1Н1 — высоты треугольников ABC и А1В1С1.
(смотреть решение →)
270 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
(смотреть решение →)
Тема: Построение треугольника по трем элементам
271 Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
(смотреть решение →)
272 В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.
(смотреть решение →)
273 Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.
(смотреть решение →)
274 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.
(смотреть решение →)
275 На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC.
(смотреть решение →)
276 Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
(смотреть решение →)
277 Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.
(смотреть решение →)
278 Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC=30°, AD=6 см.
(смотреть решение →)
279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
(смотреть решение →)
280 Даны неразвернутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние PQ?
(смотреть решение →)
281 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
(смотреть решение →)
282 Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х∈а, Y∈b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудаленной от этих прямых.
(смотреть решение →)
283 Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
(смотреть решение →)
284 Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми a и b было равно АВ.
(смотреть решение →)
285 Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удаленную от прямой b на расстояние PQ.
(смотреть решение →)
286 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
(смотреть решение →)
287 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
(смотреть решение →)
288 Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы:
(смотреть решение →)
289 Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы AB=PQ, ∠A=∠hk,
(смотреть решение →)
290 Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
(смотреть решение →)
291 Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию.
(смотреть решение →)
292 Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3. Постройте треугольник ABC так, чтобы:
(смотреть решение →)
293 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне.
(смотреть решение →)
294 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.
(смотреть решение →)
295 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон.
(смотреть решение →)
296 В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол BОС равен внешнему углу треугольника при вершине B.
(смотреть решение →)
297 На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC=BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.
(смотреть решение →)
298 На рисунке 145 AD||BE, AC=AD и ВС=ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.
(смотреть решение →)
299 На рисунке 146 АВ=АС, AP=PQ =QR =RB =ВС. Найдите угол А.
(смотреть решение →)
300 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
(смотреть решение →)
301 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:
(смотреть решение →)
302 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные AM1 и AM2 . Докажите, что:
(смотреть решение →)
303* Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. Указание. Продолжите медиану AM за точку М на отрезок AD, равный AM, и рассмотрите треугольник ABD.
(смотреть решение →)
304* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC у то МB+МС < AB+АС.
(смотреть решение →)
305 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
(смотреть решение →)
306 Докажите, что если AB=АС + СB, то точки А, B и С лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
307 В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
(смотреть решение →)
308 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине B равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.
(смотреть решение →)
309 В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов B и С.
(смотреть решение →)
310 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны.
(смотреть решение →)
311 Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?
(смотреть решение →)
312 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
(смотреть решение →)
313* Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
(смотреть решение →)
314 Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету.
(смотреть решение →)
315 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.
(смотреть решение →)
316* Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.
(смотреть решение →)
317 Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE=AD + СЕ.
(смотреть решение →)
318 Дан равносторонний треугольник ABC и точка В1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и С1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним.
(смотреть решение →)
319* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.
(смотреть решение →)
320* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.
(смотреть решение →)
321* Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.
(смотреть решение →)

Задачи повышенной трудности

Тема: Задачи к главе 1
322 Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и b?
(смотреть решение →)
323 Длина отрезка АВ при единице измерения E1Fl выражается числом m, а при единице измерения — числом n. Каким числом выражается длина отрезка E1F1 при единице измерения E2F2?
(смотреть решение →)
324 Пусть ∠hk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что
(смотреть решение →)
325 Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 147). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.
(смотреть решение →)
326 Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
(смотреть решение →)
327 Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере еще одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 2
328 Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой AB и расположены так, что АС =BC2 и ∠BAC1=∠ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка AB.
(смотреть решение →)
329 Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
(смотреть решение →)
330 Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?
(смотреть решение →)
Тема: Задачи к главе 3 и 4
331 Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?
(смотреть решение →)
332 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC=OD, если AC=AO=BO=BD.
(смотреть решение →)
333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC, пересекаются в точке О. Найдите угол BOC, если угол А равен а.
(смотреть решение →)
334 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
(смотреть решение →)
335 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов.
(смотреть решение →)
336 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
(смотреть решение →)
337 Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка М такая, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC=80°.
(смотреть решение →)
338 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
(смотреть решение →)
339 Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В1А и ВС > В1С.
(смотреть решение →)
340 Внутри треугольника ABC взята точка D такая, что AD=AB. Докажите, что АС > АВ.
(смотреть решение →)
341 В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB >∠ADC и BD > CD.
(смотреть решение →)
342 Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
(смотреть решение →)
343 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
(смотреть решение →)
344 В треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.
(смотреть решение →)
345 Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведен перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.
(смотреть решение →)
346 В треугольнике ABC, где АВ < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB.
(смотреть решение →)
347 Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины.
(смотреть решение →)
348 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.
(смотреть решение →)
349 Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
(смотреть решение →)
350 В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.
(смотреть решение →)
Тема: Задачи на построение
351 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
(смотреть решение →)
352 Даны две точки А и B и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от точек А и B. Всегда ли задача имеет решение?
(смотреть решение →)
353 Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
(смотреть решение →)
354 Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?
(смотреть решение →)
355 Точки А и B лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + MB имела наименьшее значение, т.е. была бы меньше суммы АХ + ХB, где X — любая точка прямой а, отличная от М.
(смотреть решение →)
356 Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол B и биссектриса BD.
(смотреть решение →)
357 На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
(смотреть решение →)
358 Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет задача?
(смотреть решение →)
359 Дана окружность с центром О и точка А вне ее. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках B и С таких, что AB=BC.
(смотреть решение →)
360 Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.
(смотреть решение →)
361 Постройте треугольник по периметру и двум углам.
(смотреть решение →)
362 Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.
(смотреть решение →)

Рады приветствовать учеников всех учебных заведений всех возрастов на нашем сайте! Здесь вы найдете решебники и решения задач бесплатно, без регистрации.
Видео онлайн